Theorem istopg

Description: Express the predicate " J is a topology". See istop2g for another characterization using nonempty finite intersections instead of binary intersections.

Note: In the literature, a topology is often represented by a calligraphic letter T, which resembles the letter J. This confusion may have led to J being used by some authors (e.g., K. D. Joshi, Introduction to General Topology (1983), p. 114) and it is convenient for us since we later use T to represent linear transformations (operators). (Contributed by Stefan Allan, 3-Mar-2006) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013)

	Ref	Expression
Assertion	istopg	|- ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq	|- ( z = J -> ~P z = ~P J )
2		eleq2	|- ( z = J -> ( U. x e. z <-> U. x e. J ) )
3	1 2	raleqbidv	|- ( z = J -> ( A. x e. ~P z U. x e. z <-> A. x e. ~P J U. x e. J ) )
4		eleq2	|- ( z = J -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. J ) )
5	4	raleqbi1dv	|- ( z = J -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
6	5	raleqbi1dv	|- ( z = J -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
7	3 6	anbi12d	|- ( z = J -> ( ( A. x e. ~P z U. x e. z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
8		df-top	|- Top = { z | ( A. x e. ~P z U. x e. z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) }
9	7 8	elab2g	|- ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
10		df-ral	|- ( A. x e. ~P J U. x e. J <-> A. x ( x e. ~P J -> U. x e. J ) )
11		elpw2g	|- ( J e. A -> ( x e. ~P J <-> x C_ J ) )
12	11	imbi1d	|- ( J e. A -> ( ( x e. ~P J -> U. x e. J ) <-> ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
13	12	albidv	|- ( J e. A -> ( A. x ( x e. ~P J -> U. x e. J ) <-> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
14	10 13	syl5bb	|- ( J e. A -> ( A. x e. ~P J U. x e. J <-> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
15	14	anbi1d	|- ( J e. A -> ( ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
16	9 15	bitrd	|- ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )