Theorem iuncom

Description: Commutation of indexed unions. (Contributed by NM, 18-Dec-2008)

	Ref	Expression
Assertion	iuncom	|- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom	|- ( E. x e. A E. y e. B z e. C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
2		eliun	|- ( z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. C )
3	2	rexbii	|- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. x e. A E. y e. B z e. C )
4		eliun	|- ( z e. U_ x e. A C <-> E. x e. A z e. C )
5	4	rexbii	|- ( E. y e. B z e. U_ x e. A C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
6	1 3 5	3bitr4i	|- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
7		eliun	|- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> E. x e. A z e. U_ y e. B C )
8		eliun	|- ( z e. U_ y e. B U_ x e. A C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
9	6 7 8	3bitr4i	|- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> z e. U_ y e. B U_ x e. A C )
10	9	eqriv	|- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C