Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iuneqfzuzlem.z |
|- Z = ( ZZ>= ` N ) |
2 |
|
nfcv |
|- F/_ m A |
3 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ n [_ m / n ]_ A |
4 |
|
csbeq1a |
|- ( n = m -> A = [_ m / n ]_ A ) |
5 |
2 3 4
|
cbviun |
|- U_ n e. Z A = U_ m e. Z [_ m / n ]_ A |
6 |
5
|
eleq2i |
|- ( x e. U_ n e. Z A <-> x e. U_ m e. Z [_ m / n ]_ A ) |
7 |
|
eliun |
|- ( x e. U_ m e. Z [_ m / n ]_ A <-> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A ) |
8 |
6 7
|
bitri |
|- ( x e. U_ n e. Z A <-> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A ) |
9 |
8
|
biimpi |
|- ( x e. U_ n e. Z A -> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A ) |
10 |
9
|
adantl |
|- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A ) |
11 |
|
nfra1 |
|- F/ m A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B |
12 |
|
nfv |
|- F/ m x e. U_ n e. Z B |
13 |
|
simp2 |
|- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> m e. Z ) |
14 |
|
rspa |
|- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z ) -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B ) |
15 |
14
|
3adant3 |
|- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B ) |
16 |
|
simp3 |
|- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. [_ m / n ]_ A ) |
17 |
|
id |
|- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B ) |
18 |
|
fzssuz |
|- ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N ) |
19 |
1
|
eqcomi |
|- ( ZZ>= ` N ) = Z |
20 |
18 19
|
sseqtri |
|- ( N ... m ) C_ Z |
21 |
|
iunss1 |
|- ( ( N ... m ) C_ Z -> U_ n e. ( N ... m ) B C_ U_ n e. Z B ) |
22 |
20 21
|
mp1i |
|- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) B C_ U_ n e. Z B ) |
23 |
17 22
|
eqsstrd |
|- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) A C_ U_ n e. Z B ) |
24 |
23
|
3ad2ant2 |
|- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> U_ n e. ( N ... m ) A C_ U_ n e. Z B ) |
25 |
1
|
eleq2i |
|- ( m e. Z <-> m e. ( ZZ>= ` N ) ) |
26 |
25
|
biimpi |
|- ( m e. Z -> m e. ( ZZ>= ` N ) ) |
27 |
|
eluzel2 |
|- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ ) |
28 |
26 27
|
syl |
|- ( m e. Z -> N e. ZZ ) |
29 |
|
eluzelz |
|- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> m e. ZZ ) |
30 |
26 29
|
syl |
|- ( m e. Z -> m e. ZZ ) |
31 |
28 30 30
|
3jca |
|- ( m e. Z -> ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) ) |
32 |
|
eluzle |
|- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ m ) |
33 |
26 32
|
syl |
|- ( m e. Z -> N <_ m ) |
34 |
30
|
zred |
|- ( m e. Z -> m e. RR ) |
35 |
|
leid |
|- ( m e. RR -> m <_ m ) |
36 |
34 35
|
syl |
|- ( m e. Z -> m <_ m ) |
37 |
31 33 36
|
jca32 |
|- ( m e. Z -> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( N <_ m /\ m <_ m ) ) ) |
38 |
|
elfz2 |
|- ( m e. ( N ... m ) <-> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( N <_ m /\ m <_ m ) ) ) |
39 |
37 38
|
sylibr |
|- ( m e. Z -> m e. ( N ... m ) ) |
40 |
|
nfcv |
|- F/_ n x |
41 |
40 3
|
nfel |
|- F/ n x e. [_ m / n ]_ A |
42 |
4
|
eleq2d |
|- ( n = m -> ( x e. A <-> x e. [_ m / n ]_ A ) ) |
43 |
41 42
|
rspce |
|- ( ( m e. ( N ... m ) /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. A ) |
44 |
39 43
|
sylan |
|- ( ( m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. A ) |
45 |
|
eliun |
|- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) A <-> E. n e. ( N ... m ) x e. A ) |
46 |
44 45
|
sylibr |
|- ( ( m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) A ) |
47 |
46
|
3adant2 |
|- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) A ) |
48 |
24 47
|
sseldd |
|- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. Z B ) |
49 |
13 15 16 48
|
syl3anc |
|- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. Z B ) |
50 |
49
|
3exp |
|- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> ( m e. Z -> ( x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) ) ) |
51 |
11 12 50
|
rexlimd |
|- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> ( E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) ) |
52 |
51
|
adantr |
|- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> ( E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) ) |
53 |
10 52
|
mpd |
|- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> x e. U_ n e. Z B ) |
54 |
53
|
ralrimiva |
|- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> A. x e. U_ n e. Z A x e. U_ n e. Z B ) |
55 |
|
dfss3 |
|- ( U_ n e. Z A C_ U_ n e. Z B <-> A. x e. U_ n e. Z A x e. U_ n e. Z B ) |
56 |
54 55
|
sylibr |
|- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. Z A C_ U_ n e. Z B ) |