Metamath Proof Explorer

Theorem iunopab

Description: Move indexed union inside an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015)

Ref Expression
Assertion iunopab 
|- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elopab 
 |-  ( w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
2 1 rexbii 
 |-  ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3 rexcom4 
 |-  ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
4 rexcom4 
 |-  ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5 r19.42v 
 |-  ( E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
6 5 exbii 
 |-  ( E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
7 4 6 bitri 
 |-  ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
8 7 exbii 
 |-  ( E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
9 3 8 bitri 
 |-  ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
10 2 9 bitri 
 |-  ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
11 10 abbii 
 |-  { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
12 df-iun 
 |-  U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } }
13 df-opab 
 |-  { <. x , y >. | E. z e. A ph } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
14 11 12 13 3eqtr4i 
 |-  U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }