Theorem iunssf

Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021)

	Ref	Expression
Hypothesis	iunssf.1	|- F/_ x C
Assertion	iunssf	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunssf.1	|- F/_ x C
2		df-iun	|- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
3	2	sseq1i	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ C )
4		abss	|- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ C <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
5		df-ss	|- ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
6	5	ralbii	|- ( A. x e. A B C_ C <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) )
7		ralcom4	|- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
8	1	nfcri	|- F/ x y e. C
9	8	r19.23	|- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
10	9	albii	|- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
11	6 7 10	3bitrri	|- ( A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) <-> A. x e. A B C_ C )
12	3 4 11	3bitri	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )