Theorem iunxun

Description: Separate a union in the index of an indexed union. (Contributed by NM, 26-Mar-2004) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016)

	Ref	Expression
Assertion	iunxun	|- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexun	|- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
2		eliun	|- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
3		eliun	|- ( y e. U_ x e. B C <-> E. x e. B y e. C )
4	2 3	orbi12i	|- ( ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
5	1 4	bitr4i	|- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
6		eliun	|- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> E. x e. ( A u. B ) y e. C )
7		elun	|- ( y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
8	5 6 7	3bitr4i	|- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) )
9	8	eqriv	|- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )