Theorem ixpeq2

Description: Equality theorem for infinite Cartesian product. (Contributed by NM, 29-Sep-2006)

	Ref	Expression
Assertion	ixpeq2	|- ( A. x e. A B = C -> X_ x e. A B = X_ x e. A C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss2ixp	|- ( A. x e. A B C_ C -> X_ x e. A B C_ X_ x e. A C )
2		ss2ixp	|- ( A. x e. A C C_ B -> X_ x e. A C C_ X_ x e. A B )
3	1 2	anim12i	|- ( ( A. x e. A B C_ C /\ A. x e. A C C_ B ) -> ( X_ x e. A B C_ X_ x e. A C /\ X_ x e. A C C_ X_ x e. A B ) )
4		eqss	|- ( B = C <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) )
5	4	ralbii	|- ( A. x e. A B = C <-> A. x e. A ( B C_ C /\ C C_ B ) )
6		r19.26	|- ( A. x e. A ( B C_ C /\ C C_ B ) <-> ( A. x e. A B C_ C /\ A. x e. A C C_ B ) )
7	5 6	bitri	|- ( A. x e. A B = C <-> ( A. x e. A B C_ C /\ A. x e. A C C_ B ) )
8		eqss	|- ( X_ x e. A B = X_ x e. A C <-> ( X_ x e. A B C_ X_ x e. A C /\ X_ x e. A C C_ X_ x e. A B ) )
9	3 7 8	3imtr4i	|- ( A. x e. A B = C -> X_ x e. A B = X_ x e. A C )