Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq1 |
|- ( a = 0 -> ( a + 1 ) = ( 0 + 1 ) ) |
2 |
1
|
oveq2d |
|- ( a = 0 -> ( A rmY ( a + 1 ) ) = ( A rmY ( 0 + 1 ) ) ) |
3 |
|
oveq2 |
|- ( a = 0 -> ( ( 2 x. A ) ^ a ) = ( ( 2 x. A ) ^ 0 ) ) |
4 |
2 3
|
breq12d |
|- ( a = 0 -> ( ( A rmY ( a + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ a ) <-> ( A rmY ( 0 + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ 0 ) ) ) |
5 |
4
|
imbi2d |
|- ( a = 0 -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( a + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ a ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( 0 + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ 0 ) ) ) ) |
6 |
|
oveq1 |
|- ( a = b -> ( a + 1 ) = ( b + 1 ) ) |
7 |
6
|
oveq2d |
|- ( a = b -> ( A rmY ( a + 1 ) ) = ( A rmY ( b + 1 ) ) ) |
8 |
|
oveq2 |
|- ( a = b -> ( ( 2 x. A ) ^ a ) = ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) |
9 |
7 8
|
breq12d |
|- ( a = b -> ( ( A rmY ( a + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ a ) <-> ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) ) |
10 |
9
|
imbi2d |
|- ( a = b -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( a + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ a ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) ) ) |
11 |
|
oveq1 |
|- ( a = ( b + 1 ) -> ( a + 1 ) = ( ( b + 1 ) + 1 ) ) |
12 |
11
|
oveq2d |
|- ( a = ( b + 1 ) -> ( A rmY ( a + 1 ) ) = ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) ) |
13 |
|
oveq2 |
|- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( 2 x. A ) ^ a ) = ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) |
14 |
12 13
|
breq12d |
|- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A rmY ( a + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ a ) <-> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) ) |
15 |
14
|
imbi2d |
|- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( a + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ a ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) ) ) |
16 |
|
oveq1 |
|- ( a = N -> ( a + 1 ) = ( N + 1 ) ) |
17 |
16
|
oveq2d |
|- ( a = N -> ( A rmY ( a + 1 ) ) = ( A rmY ( N + 1 ) ) ) |
18 |
|
oveq2 |
|- ( a = N -> ( ( 2 x. A ) ^ a ) = ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) |
19 |
17 18
|
breq12d |
|- ( a = N -> ( ( A rmY ( a + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ a ) <-> ( A rmY ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) ) |
20 |
19
|
imbi2d |
|- ( a = N -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( a + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ a ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) ) ) |
21 |
|
1le1 |
|- 1 <_ 1 |
22 |
|
0p1e1 |
|- ( 0 + 1 ) = 1 |
23 |
22
|
oveq2i |
|- ( A rmY ( 0 + 1 ) ) = ( A rmY 1 ) |
24 |
|
rmy1 |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY 1 ) = 1 ) |
25 |
23 24
|
syl5eq |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( 0 + 1 ) ) = 1 ) |
26 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
27 |
|
eluzelre |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR ) |
28 |
|
remulcl |
|- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) e. RR ) |
29 |
26 27 28
|
sylancr |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. A ) e. RR ) |
30 |
29
|
recnd |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. A ) e. CC ) |
31 |
30
|
exp0d |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 x. A ) ^ 0 ) = 1 ) |
32 |
25 31
|
breq12d |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A rmY ( 0 + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ 0 ) <-> 1 <_ 1 ) ) |
33 |
21 32
|
mpbiri |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( 0 + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ 0 ) ) |
34 |
|
simpr |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
35 |
|
nn0z |
|- ( b e. NN0 -> b e. ZZ ) |
36 |
35
|
adantr |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> b e. ZZ ) |
37 |
36
|
peano2zd |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( b + 1 ) e. ZZ ) |
38 |
|
rmyluc2 |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b + 1 ) e. ZZ ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) - ( A rmY ( ( b + 1 ) - 1 ) ) ) ) |
39 |
34 37 38
|
syl2anc |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) - ( A rmY ( ( b + 1 ) - 1 ) ) ) ) |
40 |
|
rmxypos |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. NN0 ) -> ( 0 < ( A rmX b ) /\ 0 <_ ( A rmY b ) ) ) |
41 |
40
|
simprd |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. NN0 ) -> 0 <_ ( A rmY b ) ) |
42 |
41
|
ancoms |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( A rmY b ) ) |
43 |
|
nn0re |
|- ( b e. NN0 -> b e. RR ) |
44 |
43
|
adantr |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> b e. RR ) |
45 |
44
|
recnd |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> b e. CC ) |
46 |
|
ax-1cn |
|- 1 e. CC |
47 |
|
pncan |
|- ( ( b e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( b + 1 ) - 1 ) = b ) |
48 |
45 46 47
|
sylancl |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( b + 1 ) - 1 ) = b ) |
49 |
48
|
oveq2d |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) - 1 ) ) = ( A rmY b ) ) |
50 |
42 49
|
breqtrrd |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( A rmY ( ( b + 1 ) - 1 ) ) ) |
51 |
27
|
adantl |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. RR ) |
52 |
26 51 28
|
sylancr |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. A ) e. RR ) |
53 |
|
frmy |
|- rmY : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ |
54 |
53
|
fovcl |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b + 1 ) e. ZZ ) -> ( A rmY ( b + 1 ) ) e. ZZ ) |
55 |
54
|
zred |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b + 1 ) e. ZZ ) -> ( A rmY ( b + 1 ) ) e. RR ) |
56 |
34 37 55
|
syl2anc |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A rmY ( b + 1 ) ) e. RR ) |
57 |
52 56
|
remulcld |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) e. RR ) |
58 |
53
|
fovcl |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A rmY b ) e. ZZ ) |
59 |
58
|
zred |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A rmY b ) e. RR ) |
60 |
34 36 59
|
syl2anc |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A rmY b ) e. RR ) |
61 |
49 60
|
eqeltrd |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) - 1 ) ) e. RR ) |
62 |
57 61
|
subge02d |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 0 <_ ( A rmY ( ( b + 1 ) - 1 ) ) <-> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) - ( A rmY ( ( b + 1 ) - 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) ) ) |
63 |
50 62
|
mpbid |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) - ( A rmY ( ( b + 1 ) - 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) ) |
64 |
39 63
|
eqbrtrd |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) ) |
65 |
64
|
3adant3 |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) ) |
66 |
|
simpl |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> b e. NN0 ) |
67 |
52 66
|
reexpcld |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. A ) ^ b ) e. RR ) |
68 |
|
2nn |
|- 2 e. NN |
69 |
|
eluz2nn |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN ) |
70 |
|
nnmulcl |
|- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. NN ) |
71 |
68 69 70
|
sylancr |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. A ) e. NN ) |
72 |
71
|
nngt0d |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 < ( 2 x. A ) ) |
73 |
72
|
adantl |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( 2 x. A ) ) |
74 |
|
lemul2 |
|- ( ( ( A rmY ( b + 1 ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. A ) ^ b ) e. RR /\ ( ( 2 x. A ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. A ) ) ) -> ( ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) <-> ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) ) ) |
75 |
56 67 52 73 74
|
syl112anc |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) <-> ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) ) ) |
76 |
75
|
biimp3a |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) ) |
77 |
52
|
recnd |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. A ) e. CC ) |
78 |
77 66
|
expp1d |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) ^ b ) x. ( 2 x. A ) ) ) |
79 |
67
|
recnd |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. A ) ^ b ) e. CC ) |
80 |
79 77
|
mulcomd |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) ^ b ) x. ( 2 x. A ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) ) |
81 |
78 80
|
eqtrd |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) ) |
82 |
81
|
3adant3 |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) -> ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) ) |
83 |
76 82
|
breqtrrd |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) |
84 |
37
|
peano2zd |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( b + 1 ) + 1 ) e. ZZ ) |
85 |
53
|
fovcl |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( b + 1 ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) e. ZZ ) |
86 |
85
|
zred |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( b + 1 ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) e. RR ) |
87 |
34 84 86
|
syl2anc |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) e. RR ) |
88 |
|
peano2nn0 |
|- ( b e. NN0 -> ( b + 1 ) e. NN0 ) |
89 |
88
|
adantr |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( b + 1 ) e. NN0 ) |
90 |
52 89
|
reexpcld |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) e. RR ) |
91 |
|
letr |
|- ( ( ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) /\ ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) ) |
92 |
87 57 90 91
|
syl3anc |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) /\ ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) ) |
93 |
92
|
3adant3 |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) -> ( ( ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) /\ ( ( 2 x. A ) x. ( A rmY ( b + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) ) |
94 |
65 83 93
|
mp2and |
|- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) |
95 |
94
|
3exp |
|- ( b e. NN0 -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) ) ) |
96 |
95
|
a2d |
|- ( b e. NN0 -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( b + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ b ) ) -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( ( b + 1 ) + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ ( b + 1 ) ) ) ) ) |
97 |
5 10 15 20 33 96
|
nn0ind |
|- ( N e. NN0 -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A rmY ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) ) |
98 |
97
|
impcom |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( A rmY ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) |