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Theorem kbass5

Description: Dirac bra-ket associative law ( | A >. <. B | ) ( | C >. <. D | ) = ( ( | A >. <. B | ) | C >. ) <. D | . (Contributed by NM, 30-May-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion kbass5 
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 kbval 
 |-  ( ( C e. ~H /\ D e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( C ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h C ) )
2 1 3expa 
 |-  ( ( ( C e. ~H /\ D e. ~H ) /\ x e. ~H ) -> ( ( C ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h C ) )
3 2 adantll 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( C ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h C ) )
4 3 fveq2d 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) = ( ( A ketbra B ) ` ( ( x .ih D ) .h C ) ) )
5 simplll 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> A e. ~H )
6 simpllr 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> B e. ~H )
7 simpr 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> x e. ~H )
8 simplrr 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> D e. ~H )
9 hicl 
 |-  ( ( x e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( x .ih D ) e. CC )
10 7 8 9 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( x .ih D ) e. CC )
11 simplrl 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> C e. ~H )
12 hvmulcl 
 |-  ( ( ( x .ih D ) e. CC /\ C e. ~H ) -> ( ( x .ih D ) .h C ) e. ~H )
13 10 11 12 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( x .ih D ) .h C ) e. ~H )
14 kbval 
 |-  ( ( A e. ~H /\ B e. ~H /\ ( ( x .ih D ) .h C ) e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( x .ih D ) .h C ) ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) )
15 5 6 13 14 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( x .ih D ) .h C ) ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) )
16 4 15 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) )
17 kbop 
 |-  ( ( C e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( C ketbra D ) : ~H --> ~H )
18 17 adantl 
 |-  ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( C ketbra D ) : ~H --> ~H )
19 fvco3 
 |-  ( ( ( C ketbra D ) : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) )
20 18 19 sylan 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) )
21 kbval 
 |-  ( ( A e. ~H /\ B e. ~H /\ C e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) = ( ( C .ih B ) .h A ) )
22 5 6 11 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) = ( ( C .ih B ) .h A ) )
23 22 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( x .ih D ) .h ( ( A ketbra B ) ` C ) ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) )
24 kbop 
 |-  ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( A ketbra B ) : ~H --> ~H )
25 24 ffvelrnda 
 |-  ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ C e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H )
26 25 adantrr 
 |-  ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H )
27 26 adantr 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H )
28 kbval 
 |-  ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H /\ D e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( A ketbra B ) ` C ) ) )
29 27 8 7 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( A ketbra B ) ` C ) ) )
30 ax-his3 
 |-  ( ( ( x .ih D ) e. CC /\ C e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) = ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) )
31 10 11 6 30 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) = ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) )
32 31 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) = ( ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) .h A ) )
33 hicl 
 |-  ( ( C e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( C .ih B ) e. CC )
34 11 6 33 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( C .ih B ) e. CC )
35 ax-hvmulass 
 |-  ( ( ( x .ih D ) e. CC /\ ( C .ih B ) e. CC /\ A e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) .h A ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) )
36 10 34 5 35 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) .h A ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) )
37 32 36 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) )
38 23 29 37 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) )
39 16 20 38 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) )
40 39 ralrimiva 
 |-  ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) )
41 fco 
 |-  ( ( ( A ketbra B ) : ~H --> ~H /\ ( C ketbra D ) : ~H --> ~H ) -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H )
42 24 17 41 syl2an 
 |-  ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H )
43 kbop 
 |-  ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H )
44 25 43 sylan 
 |-  ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ C e. ~H ) /\ D e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H )
45 44 anasss 
 |-  ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H )
46 ffn 
 |-  ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) Fn ~H )
47 ffn 
 |-  ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) Fn ~H )
48 eqfnfv 
 |-  ( ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) Fn ~H /\ ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) Fn ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) <-> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) ) )
49 46 47 48 syl2an 
 |-  ( ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H /\ ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) <-> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) ) )
50 42 45 49 syl2anc 
 |-  ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) <-> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) ) )
51 40 50 mpbird 
 |-  ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) )