Theorem latj31

Description: Swap 2nd and 3rd members of lattice join. Lemma 2.2 in MegPav2002 p. 362. (Contributed by NM, 23-Jun-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	latjass.b	|- B = ( Base ` K )
	latjass.j	|- .\/ = ( join ` K )
Assertion	latj31	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .\/ Y ) .\/ Z ) = ( ( Z .\/ Y ) .\/ X ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjass.b	|- B = ( Base ` K )
2		latjass.j	|- .\/ = ( join ` K )
3		simpl	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Lat )
4		simpr3	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
5		simpr1	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
6		simpr2	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
7	1 2	latj12	|- ( ( K e. Lat /\ ( Z e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Z .\/ ( X .\/ Y ) ) = ( X .\/ ( Z .\/ Y ) ) )
8	3 4 5 6 7	syl13anc	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .\/ ( X .\/ Y ) ) = ( X .\/ ( Z .\/ Y ) ) )
9	1 2	latjcl	|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
10	9	3adant3r3	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
11	1 2	latjcom	|- ( ( K e. Lat /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .\/ Y ) .\/ Z ) = ( Z .\/ ( X .\/ Y ) ) )
12	3 10 4 11	syl3anc	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .\/ Y ) .\/ Z ) = ( Z .\/ ( X .\/ Y ) ) )
13	1 2	latjcl	|- ( ( K e. Lat /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .\/ Y ) e. B )
14	3 4 6 13	syl3anc	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .\/ Y ) e. B )
15	1 2	latjcom	|- ( ( K e. Lat /\ ( Z .\/ Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( Z .\/ Y ) .\/ X ) = ( X .\/ ( Z .\/ Y ) ) )
16	3 14 5 15	syl3anc	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .\/ Y ) .\/ X ) = ( X .\/ ( Z .\/ Y ) ) )
17	8 12 16	3eqtr4d	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .\/ Y ) .\/ Z ) = ( ( Z .\/ Y ) .\/ X ) )