Metamath Proof Explorer

Theorem latj31

Description: Swap 2nd and 3rd members of lattice join. Lemma 2.2 in MegPav2002 p. 362. (Contributed by NM, 23-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses latjass.b 
|- B = ( Base ` K )
latjass.j 
|- .\/ = ( join ` K )
Assertion latj31 
|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .\/ Y ) .\/ Z ) = ( ( Z .\/ Y ) .\/ X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latjass.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 latjass.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 simpl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Lat )
4 simpr3 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
5 simpr1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
6 simpr2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
7 1 2 latj12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Z e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Z .\/ ( X .\/ Y ) ) = ( X .\/ ( Z .\/ Y ) ) )
8 3 4 5 6 7 syl13anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .\/ ( X .\/ Y ) ) = ( X .\/ ( Z .\/ Y ) ) )
9 1 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
10 9 3adant3r3 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
11 1 2 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .\/ Y ) .\/ Z ) = ( Z .\/ ( X .\/ Y ) ) )
12 3 10 4 11 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .\/ Y ) .\/ Z ) = ( Z .\/ ( X .\/ Y ) ) )
13 1 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .\/ Y ) e. B )
14 3 4 6 13 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .\/ Y ) e. B )
15 1 2 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Z .\/ Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( Z .\/ Y ) .\/ X ) = ( X .\/ ( Z .\/ Y ) ) )
16 3 14 5 15 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .\/ Y ) .\/ X ) = ( X .\/ ( Z .\/ Y ) ) )
17 8 12 16 3eqtr4d 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .\/ Y ) .\/ Z ) = ( ( Z .\/ Y ) .\/ X ) )