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Theorem latledi

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. ( ledi analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses latledi.b 
|- B = ( Base ` K )
latledi.l 
|- .<_ = ( le ` K )
latledi.j 
|- .\/ = ( join ` K )
latledi.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
Assertion latledi 
|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ ( X ./\ ( Y .\/ Z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latledi.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 latledi.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 latledi.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 latledi.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 1 2 4 latmle1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) .<_ X )
6 5 3adant3r3 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ X )
7 1 2 4 latmle1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X ./\ Z ) .<_ X )
8 7 3adant3r2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ./\ Z ) .<_ X )
9 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
10 9 3adant3r3 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
11 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X ./\ Z ) e. B )
12 11 3adant3r2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ./\ Z ) e. B )
13 simpr1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
14 10 12 13 3jca 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) e. B /\ ( X ./\ Z ) e. B /\ X e. B ) )
15 1 2 3 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( X ./\ Y ) e. B /\ ( X ./\ Z ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .<_ X /\ ( X ./\ Z ) .<_ X ) <-> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ X ) )
16 14 15 syldan 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .<_ X /\ ( X ./\ Z ) .<_ X ) <-> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ X ) )
17 6 8 16 mpbi2and 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ X )
18 1 2 4 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) .<_ Y )
19 18 3adant3r3 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ Y )
20 1 2 4 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X ./\ Z ) .<_ Z )
21 20 3adant3r2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ./\ Z ) .<_ Z )
22 simpl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Lat )
23 simpr2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
24 simpr3 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
25 1 2 3 latjlej12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( X ./\ Y ) e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( X ./\ Z ) e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .<_ Y /\ ( X ./\ Z ) .<_ Z ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
26 22 10 23 12 24 25 syl122anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .<_ Y /\ ( X ./\ Z ) .<_ Z ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
27 19 21 26 mp2and 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ ( Y .\/ Z ) )
28 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ ( X ./\ Z ) e. B ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) e. B )
29 22 10 12 28 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) e. B )
30 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .\/ Z ) e. B )
31 30 3adant3r1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .\/ Z ) e. B )
32 1 2 4 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) e. B /\ X e. B /\ ( Y .\/ Z ) e. B ) ) -> ( ( ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ X /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ ( Y .\/ Z ) ) <-> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ ( X ./\ ( Y .\/ Z ) ) ) )
33 22 29 13 31 32 syl13anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ X /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ ( Y .\/ Z ) ) <-> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ ( X ./\ ( Y .\/ Z ) ) ) )
34 17 27 33 mpbi2and 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( X ./\ Z ) ) .<_ ( X ./\ ( Y .\/ Z ) ) )