Metamath Proof Explorer

Theorem latmlem1

Description: Add meet to both sides of a lattice ordering. (Contributed by NM, 10-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses latmle.b 
|- B = ( Base ` K )
latmle.l 
|- .<_ = ( le ` K )
latmle.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
Assertion latmlem1 
|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X ./\ Z ) .<_ ( Y ./\ Z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latmle.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 latmle.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 latmle.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 1 2 3 latmle1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X ./\ Z ) .<_ X )
5 4 3adant3r2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ./\ Z ) .<_ X )
6 simpl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Lat )
7 1 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X ./\ Z ) e. B )
8 7 3adant3r2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ./\ Z ) e. B )
9 simpr1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
10 simpr2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
11 1 2 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( X ./\ Z ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X ./\ Z ) .<_ X /\ X .<_ Y ) -> ( X ./\ Z ) .<_ Y ) )
12 6 8 9 10 11 syl13anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X ./\ Z ) .<_ X /\ X .<_ Y ) -> ( X ./\ Z ) .<_ Y ) )
13 5 12 mpand 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X ./\ Z ) .<_ Y ) )
14 1 2 3 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X ./\ Z ) .<_ Z )
15 14 3adant3r2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ./\ Z ) .<_ Z )
16 13 15 jctird 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> ( ( X ./\ Z ) .<_ Y /\ ( X ./\ Z ) .<_ Z ) ) )
17 simpr3 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
18 8 10 17 3jca 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Z ) e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) )
19 1 2 3 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( X ./\ Z ) e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X ./\ Z ) .<_ Y /\ ( X ./\ Z ) .<_ Z ) <-> ( X ./\ Z ) .<_ ( Y ./\ Z ) ) )
20 18 19 syldan 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X ./\ Z ) .<_ Y /\ ( X ./\ Z ) .<_ Z ) <-> ( X ./\ Z ) .<_ ( Y ./\ Z ) ) )
21 16 20 sylibd 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X ./\ Z ) .<_ ( Y ./\ Z ) ) )