Theorem lautcnv

Description: The converse of a lattice automorphism is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 10-May-2013)

	Ref	Expression
Hypothesis	lautcnv.i	|- I = ( LAut ` K )
Assertion	lautcnv	|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> `' F e. I )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lautcnv.i	|- I = ( LAut ` K )
2		eqid	|- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
3	2 1	laut1o	|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
4		f1ocnv	|- ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> `' F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
5	3 4	syl	|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> `' F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
6		eqid	|- ( le ` K ) = ( le ` K )
7	2 6 1	lautcnvle	|- ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( le ` K ) y <-> ( `' F ` x ) ( le ` K ) ( `' F ` y ) ) )
8	7	ralrimivva	|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( `' F ` x ) ( le ` K ) ( `' F ` y ) ) )
9	2 6 1	islaut	|- ( K e. V -> ( `' F e. I <-> ( `' F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( `' F ` x ) ( le ` K ) ( `' F ` y ) ) ) ) )
10	9	adantr	|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> ( `' F e. I <-> ( `' F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( `' F ` x ) ( le ` K ) ( `' F ` y ) ) ) ) )
11	5 8 10	mpbir2and	|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> `' F e. I )