Theorem lautle

Description: Less-than or equal property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	lautset.b	|- B = ( Base ` K )
	lautset.l	|- .<_ = ( le ` K )
	lautset.i	|- I = ( LAut ` K )
Assertion	lautle	|- ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .<_ Y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lautset.b	|- B = ( Base ` K )
2		lautset.l	|- .<_ = ( le ` K )
3		lautset.i	|- I = ( LAut ` K )
4	1 2 3	islaut	|- ( K e. V -> ( F e. I <-> ( F : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( F ` x ) .<_ ( F ` y ) ) ) ) )
5	4	simplbda	|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( F ` x ) .<_ ( F ` y ) ) )
6		breq1	|- ( x = X -> ( x .<_ y <-> X .<_ y ) )
7		fveq2	|- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
8	7	breq1d	|- ( x = X -> ( ( F ` x ) .<_ ( F ` y ) <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` y ) ) )
9	6 8	bibi12d	|- ( x = X -> ( ( x .<_ y <-> ( F ` x ) .<_ ( F ` y ) ) <-> ( X .<_ y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` y ) ) ) )
10		breq2	|- ( y = Y -> ( X .<_ y <-> X .<_ Y ) )
11		fveq2	|- ( y = Y -> ( F ` y ) = ( F ` Y ) )
12	11	breq2d	|- ( y = Y -> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` y ) <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) )
13	10 12	bibi12d	|- ( y = Y -> ( ( X .<_ y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` y ) ) <-> ( X .<_ Y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) ) )
14	9 13	rspc2v	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( F ` x ) .<_ ( F ` y ) ) -> ( X .<_ Y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) ) )
15	5 14	mpan9	|- ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .<_ Y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) )