Theorem leexp2rd

Description: Ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016)

	Ref	Expression
Hypotheses	sqgt0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
	leexp2rd.2	|- ( ph -> M e. NN0 )
	leexp2rd.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
	leexp2rd.4	|- ( ph -> 0 <_ A )
	leexp2rd.5	|- ( ph -> A <_ 1 )
Assertion	leexp2rd	|- ( ph -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqgt0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
2		leexp2rd.2	|- ( ph -> M e. NN0 )
3		leexp2rd.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		leexp2rd.4	|- ( ph -> 0 <_ A )
5		leexp2rd.5	|- ( ph -> A <_ 1 )
6		leexp2r	|- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) )
7	1 2 3 4 5 6	syl32anc	|- ( ph -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) )