Metamath Proof Explorer

Theorem lemul12a

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008)

Ref Expression
Assertion lemul12a 
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpll 
 |-  ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) )
2 simpll 
 |-  ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) -> C e. RR )
3 2 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> C e. RR )
4 simplrr 
 |-  ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> D e. RR )
5 0re 
 |-  0 e. RR
6 letr 
 |-  ( ( 0 e. RR /\ C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( 0 <_ C /\ C <_ D ) -> 0 <_ D ) )
7 5 6 mp3an1 
 |-  ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( 0 <_ C /\ C <_ D ) -> 0 <_ D ) )
8 7 exp4b 
 |-  ( C e. RR -> ( D e. RR -> ( 0 <_ C -> ( C <_ D -> 0 <_ D ) ) ) )
9 8 com23 
 |-  ( C e. RR -> ( 0 <_ C -> ( D e. RR -> ( C <_ D -> 0 <_ D ) ) ) )
10 9 imp41 
 |-  ( ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) /\ C <_ D ) -> 0 <_ D )
11 10 ad2ant2l 
 |-  ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> 0 <_ D )
12 4 11 jca 
 |-  ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( D e. RR /\ 0 <_ D ) )
13 1 3 12 jca32 
 |-  ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) )
14 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( A <_ B /\ C <_ D ) )
15 lemul12b 
 |-  ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
16 13 14 15 sylc 
 |-  ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) )
17 16 ex 
 |-  ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )