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Theorem lgseisenlem2

Description: Lemma for lgseisen . The function M is an injection (and hence a bijection by the pigeonhole principle). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015)

Ref Expression
Hypotheses lgseisen.1 
|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2 
|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3 
|- ( ph -> P =/= Q )
lgseisen.4 
|- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
lgseisen.5 
|- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
lgseisen.6 
|- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
Assertion lgseisenlem2 
|- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lgseisen.1 
 |-  ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2 lgseisen.2 
 |-  ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
3 lgseisen.3 
 |-  ( ph -> P =/= Q )
4 lgseisen.4 
 |-  R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
5 lgseisen.5 
 |-  M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
6 lgseisen.6 
 |-  S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
7 1 2 3 4 5 lgseisenlem1 
 |-  ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
8 oveq2 
 |-  ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
9 8 oveq2d 
 |-  ( x = y -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) = ( Q x. ( 2 x. y ) ) )
10 9 oveq1d 
 |-  ( x = y -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
11 10 4 6 3eqtr4g 
 |-  ( x = y -> R = S )
12 11 oveq2d 
 |-  ( x = y -> ( -u 1 ^ R ) = ( -u 1 ^ S ) )
13 12 11 oveq12d 
 |-  ( x = y -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) = ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) )
14 13 oveq1d 
 |-  ( x = y -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) )
15 14 oveq1d 
 |-  ( x = y -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) )
16 ovex 
 |-  ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) e. _V
17 15 5 16 fvmpt 
 |-  ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( M ` y ) = ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) )
18 17 ad2antrl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( M ` y ) = ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) )
19 ovex 
 |-  ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. _V
20 5 fvmpt2 
 |-  ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. _V ) -> ( M ` x ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
21 19 20 mpan2 
 |-  ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( M ` x ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
22 21 ad2antll 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( M ` x ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
23 18 22 eqeq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( M ` y ) = ( M ` x ) <-> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) )
24 2 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
25 24 eldifad 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> Q e. Prime )
26 prmz 
 |-  ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
27 25 26 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> Q e. ZZ )
28 2z 
 |-  2 e. ZZ
29 elfzelz 
 |-  ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> y e. ZZ )
30 29 ad2antrl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
31 zmulcl 
 |-  ( ( 2 e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( 2 x. y ) e. ZZ )
32 28 30 31 sylancr 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. ZZ )
33 27 32 zmulcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. y ) ) e. ZZ )
34 1 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
35 34 eldifad 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. Prime )
36 prmnn 
 |-  ( P e. Prime -> P e. NN )
37 35 36 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. NN )
38 33 37 zmodcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) e. NN0 )
39 6 38 eqeltrid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> S e. NN0 )
40 39 nn0zd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> S e. ZZ )
41 m1expcl 
 |-  ( S e. ZZ -> ( -u 1 ^ S ) e. ZZ )
42 40 41 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ S ) e. ZZ )
43 42 40 zmulcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) e. ZZ )
44 43 37 zmodcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) e. NN0 )
45 44 nn0cnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) e. CC )
46 elfzelz 
 |-  ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. ZZ )
47 46 ad2antll 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
48 zmulcl 
 |-  ( ( 2 e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
49 28 47 48 sylancr 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
50 27 49 zmulcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
51 50 37 zmodcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) e. NN0 )
52 4 51 eqeltrid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> R e. NN0 )
53 52 nn0zd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> R e. ZZ )
54 m1expcl 
 |-  ( R e. ZZ -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
55 53 54 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
56 55 53 zmulcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ )
57 56 37 zmodcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN0 )
58 57 nn0cnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. CC )
59 2cnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 2 e. CC )
60 2ne0 
 |-  2 =/= 0
61 60 a1i 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 2 =/= 0 )
62 div11 
 |-  ( ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) e. CC /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) <-> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) )
63 45 58 59 61 62 syl112anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) <-> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) )
64 37 nnrpd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. RR+ )
65 eqidd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ S ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ S ) mod P ) )
66 6 oveq1i 
 |-  ( S mod P ) = ( ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) mod P )
67 33 zred 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. y ) ) e. RR )
68 modabs2 
 |-  ( ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) e. RR /\ P e. RR+ ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
69 67 64 68 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
70 66 69 eqtrid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( S mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
71 42 42 40 33 64 65 70 modmul12d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) mod P ) )
72 eqidd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) )
73 4 oveq1i 
 |-  ( R mod P ) = ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P )
74 50 zred 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. RR )
75 modabs2 
 |-  ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. RR /\ P e. RR+ ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
76 74 64 75 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
77 73 76 eqtrid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( R mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
78 55 55 53 50 64 72 77 modmul12d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) )
79 71 78 eqeq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) <-> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) ) )
80 42 33 zmulcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) e. ZZ )
81 55 50 zmulcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
82 moddvds 
 |-  ( ( P e. NN /\ ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
83 37 80 81 82 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
84 27 zcnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> Q e. CC )
85 42 32 zmulcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) e. ZZ )
86 85 zcnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) e. CC )
87 55 49 zmulcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
88 87 zcnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) e. CC )
89 84 86 88 subdid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( Q x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) - ( Q x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
90 42 zcnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ S ) e. CC )
91 32 zcnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
92 84 90 91 mul12d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) = ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) )
93 55 zcnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. CC )
94 49 zcnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
95 84 93 94 mul12d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) )
96 92 95 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( Q x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) - ( Q x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
97 89 96 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
98 97 breq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
99 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P =/= Q )
100 prmrp 
 |-  ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> ( ( P gcd Q ) = 1 <-> P =/= Q ) )
101 35 25 100 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P gcd Q ) = 1 <-> P =/= Q ) )
102 99 101 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P gcd Q ) = 1 )
103 prmz 
 |-  ( P e. Prime -> P e. ZZ )
104 35 103 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. ZZ )
105 85 87 zsubcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
106 coprmdvds 
 |-  ( ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( P || ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( P gcd Q ) = 1 ) -> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
107 104 27 105 106 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P || ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( P gcd Q ) = 1 ) -> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
108 102 107 mpan2d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) -> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
109 dvdsmultr2 
 |-  ( ( P e. ZZ /\ ( -u 1 ^ R ) e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) -> P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
110 104 55 105 109 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) -> P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
111 93 86 88 subdid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
112 neg1cn 
 |-  -u 1 e. CC
113 112 a1i 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -u 1 e. CC )
114 113 39 52 expaddd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ S ) ) )
115 114 oveq1d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ S ) ) x. ( 2 x. y ) ) )
116 93 90 91 mulassd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ S ) ) x. ( 2 x. y ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) )
117 115 116 eqtr2d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) )
118 ax-1cn 
 |-  1 e. CC
119 ax-1ne0 
 |-  1 =/= 0
120 divneg2 
 |-  ( ( 1 e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 =/= 0 ) -> -u ( 1 / 1 ) = ( 1 / -u 1 ) )
121 118 118 119 120 mp3an 
 |-  -u ( 1 / 1 ) = ( 1 / -u 1 )
122 1div1e1 
 |-  ( 1 / 1 ) = 1
123 122 negeqi 
 |-  -u ( 1 / 1 ) = -u 1
124 121 123 eqtr3i 
 |-  ( 1 / -u 1 ) = -u 1
125 124 oveq1i 
 |-  ( ( 1 / -u 1 ) ^ R ) = ( -u 1 ^ R )
126 neg1ne0 
 |-  -u 1 =/= 0
127 126 a1i 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -u 1 =/= 0 )
128 113 127 53 exprecd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 1 / -u 1 ) ^ R ) = ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) )
129 125 128 eqtr3id 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) = ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) )
130 129 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) ) )
131 113 127 53 expne0d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) =/= 0 )
132 93 131 recidd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) ) = 1 )
133 130 132 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) = 1 )
134 133 oveq1d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) x. ( 2 x. x ) ) = ( 1 x. ( 2 x. x ) ) )
135 93 93 94 mulassd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) x. ( 2 x. x ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
136 94 mullidd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 1 x. ( 2 x. x ) ) = ( 2 x. x ) )
137 134 135 136 3eqtr3d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( 2 x. x ) )
138 117 137 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) )
139 111 138 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) )
140 139 breq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) ) )
141 eqcom 
 |-  ( ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
142 91 mulm1d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) = -u ( 2 x. y ) )
143 142 oveq1d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) )
144 143 eqeq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) <-> ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) ) )
145 141 144 bitrid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) ) )
146 32 znegcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -u ( 2 x. y ) e. ZZ )
147 moddvds 
 |-  ( ( P e. NN /\ ( 2 x. x ) e. ZZ /\ -u ( 2 x. y ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) <-> P || ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) ) )
148 37 49 146 147 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) <-> P || ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) ) )
149 elfznn 
 |-  ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
150 149 ad2antll 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. NN )
151 elfznn 
 |-  ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> y e. NN )
152 151 ad2antrl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> y e. NN )
153 150 152 nnaddcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + y ) e. NN )
154 150 nnred 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. RR )
155 30 zred 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> y e. RR )
156 oddprm 
 |-  ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
157 34 156 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
158 157 nnred 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
159 elfzle2 
 |-  ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
160 159 ad2antll 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
161 elfzle2 
 |-  ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
162 161 ad2antrl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
163 154 155 158 158 160 162 le2addd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + y ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
164 37 nnred 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. RR )
165 peano2rem 
 |-  ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
166 164 165 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
167 166 recnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P - 1 ) e. CC )
168 167 2halvesd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( P - 1 ) )
169 163 168 breqtrd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + y ) <_ ( P - 1 ) )
170 peano2zm 
 |-  ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
171 fznn 
 |-  ( ( P - 1 ) e. ZZ -> ( ( x + y ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( x + y ) e. NN /\ ( x + y ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
172 104 170 171 3syl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( x + y ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( x + y ) e. NN /\ ( x + y ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
173 153 169 172 mpbir2and 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + y ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
174 fzm1ndvds 
 |-  ( ( P e. NN /\ ( x + y ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || ( x + y ) )
175 37 173 174 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -. P || ( x + y ) )
176 eldifsni 
 |-  ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
177 34 176 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P =/= 2 )
178 2prm 
 |-  2 e. Prime
179 prmrp 
 |-  ( ( P e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( P gcd 2 ) = 1 <-> P =/= 2 ) )
180 35 178 179 sylancl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P gcd 2 ) = 1 <-> P =/= 2 ) )
181 177 180 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P gcd 2 ) = 1 )
182 28 a1i 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 2 e. ZZ )
183 153 nnzd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + y ) e. ZZ )
184 coprmdvds 
 |-  ( ( P e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( x + y ) e. ZZ ) -> ( ( P || ( 2 x. ( x + y ) ) /\ ( P gcd 2 ) = 1 ) -> P || ( x + y ) ) )
185 104 182 183 184 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P || ( 2 x. ( x + y ) ) /\ ( P gcd 2 ) = 1 ) -> P || ( x + y ) ) )
186 181 185 mpan2d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( 2 x. ( x + y ) ) -> P || ( x + y ) ) )
187 175 186 mtod 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -. P || ( 2 x. ( x + y ) ) )
188 94 91 subnegd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. y ) ) )
189 47 zcnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. CC )
190 30 zcnd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> y e. CC )
191 59 189 190 adddid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( x + y ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. y ) ) )
192 188 191 eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) = ( 2 x. ( x + y ) ) )
193 192 breq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) <-> P || ( 2 x. ( x + y ) ) ) )
194 187 193 mtbird 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -. P || ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) )
195 194 pm2.21d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
196 148 195 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
197 145 196 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
198 oveq1 
 |-  ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) = ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) )
199 198 oveq1d 
 |-  ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 -> ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
200 199 eqeq1d 
 |-  ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) ) )
201 200 imbi1d 
 |-  ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) <-> ( ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) ) )
202 197 201 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) ) )
203 91 mullidd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 1 x. ( 2 x. y ) ) = ( 2 x. y ) )
204 203 oveq1d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. y ) mod P ) )
205 32 zred 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. RR )
206 2nn 
 |-  2 e. NN
207 nnmulcl 
 |-  ( ( 2 e. NN /\ y e. NN ) -> ( 2 x. y ) e. NN )
208 206 152 207 sylancr 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. NN )
209 208 nnnn0d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. NN0 )
210 209 nn0ge0d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. y ) )
211 2re 
 |-  2 e. RR
212 211 a1i 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 2 e. RR )
213 2pos 
 |-  0 < 2
214 213 a1i 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 0 < 2 )
215 lemuldiv2 
 |-  ( ( y e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. y ) <_ ( P - 1 ) <-> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
216 155 166 212 214 215 syl112anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. y ) <_ ( P - 1 ) <-> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
217 162 216 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) <_ ( P - 1 ) )
218 zltlem1 
 |-  ( ( ( 2 x. y ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 2 x. y ) < P <-> ( 2 x. y ) <_ ( P - 1 ) ) )
219 32 104 218 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. y ) < P <-> ( 2 x. y ) <_ ( P - 1 ) ) )
220 217 219 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) < P )
221 modid 
 |-  ( ( ( ( 2 x. y ) e. RR /\ P e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( 2 x. y ) /\ ( 2 x. y ) < P ) ) -> ( ( 2 x. y ) mod P ) = ( 2 x. y ) )
222 205 64 210 220 221 syl22anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. y ) mod P ) = ( 2 x. y ) )
223 204 222 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( 2 x. y ) )
224 49 zred 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. RR )
225 nnmulcl 
 |-  ( ( 2 e. NN /\ x e. NN ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
226 206 150 225 sylancr 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
227 226 nnnn0d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN0 )
228 227 nn0ge0d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. x ) )
229 lemuldiv2 
 |-  ( ( x e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
230 154 166 212 214 229 syl112anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
231 160 230 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) )
232 zltlem1 
 |-  ( ( ( 2 x. x ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 2 x. x ) < P <-> ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) )
233 49 104 232 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) < P <-> ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) )
234 231 233 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) < P )
235 modid 
 |-  ( ( ( ( 2 x. x ) e. RR /\ P e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( 2 x. x ) /\ ( 2 x. x ) < P ) ) -> ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( 2 x. x ) )
236 224 64 228 234 235 syl22anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( 2 x. x ) )
237 223 236 eqeq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
238 237 biimpd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
239 oveq1 
 |-  ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) = ( 1 x. ( 2 x. y ) ) )
240 239 oveq1d 
 |-  ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 -> ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
241 240 eqeq1d 
 |-  ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) ) )
242 241 imbi1d 
 |-  ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) <-> ( ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) ) )
243 238 242 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) ) )
244 52 39 nn0addcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( R + S ) e. NN0 )
245 244 nn0zd 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( R + S ) e. ZZ )
246 m1expcl2 
 |-  ( ( R + S ) e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( R + S ) ) e. { -u 1 , 1 } )
247 elpri 
 |-  ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) e. { -u 1 , 1 } -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 \/ ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 ) )
248 245 246 247 3syl 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 \/ ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 ) )
249 202 243 248 mpjaod 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
250 neg1z 
 |-  -u 1 e. ZZ
251 zexpcl 
 |-  ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( R + S ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( R + S ) ) e. ZZ )
252 250 244 251 sylancr 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( R + S ) ) e. ZZ )
253 252 32 zmulcld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) e. ZZ )
254 moddvds 
 |-  ( ( P e. NN /\ ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) e. ZZ /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) ) )
255 37 253 49 254 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) ) )
256 190 189 59 61 mulcand 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) <-> y = x ) )
257 249 255 256 3imtr3d 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) -> y = x ) )
258 140 257 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) -> y = x ) )
259 108 110 258 3syld 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) -> y = x ) )
260 98 259 sylbird 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) -> y = x ) )
261 83 260 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) -> y = x ) )
262 79 261 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) -> y = x ) )
263 63 262 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) -> y = x ) )
264 23 263 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x ) )
265 264 ralrimivva 
 |-  ( ph -> A. y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x ) )
266 nfmpt1 
 |-  F/_ x ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
267 5 266 nfcxfr 
 |-  F/_ x M
268 nfcv 
 |-  F/_ x y
269 267 268 nffv 
 |-  F/_ x ( M ` y )
270 nfcv 
 |-  F/_ x z
271 267 270 nffv 
 |-  F/_ x ( M ` z )
272 269 271 nfeq 
 |-  F/ x ( M ` y ) = ( M ` z )
273 nfv 
 |-  F/ x y = z
274 272 273 nfim 
 |-  F/ x ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z )
275 nfv 
 |-  F/ z ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x )
276 fveq2 
 |-  ( z = x -> ( M ` z ) = ( M ` x ) )
277 276 eqeq2d 
 |-  ( z = x -> ( ( M ` y ) = ( M ` z ) <-> ( M ` y ) = ( M ` x ) ) )
278 equequ2 
 |-  ( z = x -> ( y = z <-> y = x ) )
279 277 278 imbi12d 
 |-  ( z = x -> ( ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z ) <-> ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x ) ) )
280 274 275 279 cbvralw 
 |-  ( A. z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z ) <-> A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x ) )
281 280 ralbii 
 |-  ( A. y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z ) <-> A. y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x ) )
282 265 281 sylibr 
 |-  ( ph -> A. y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z ) )
283 dff13 
 |-  ( M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z ) ) )
284 7 282 283 sylanbrc 
 |-  ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
285 ovex 
 |-  ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. _V
286 285 enref 
 |-  ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ~~ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
287 fzfi 
 |-  ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin
288 f1finf1o 
 |-  ( ( ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ~~ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin ) -> ( M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
289 286 287 288 mp2an 
 |-  ( M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
290 284 289 sylib 
 |-  ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )