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Theorem llnmod2i2

Description: Version of modular law pmod1i that holds in a Hilbert lattice, when one element is a lattice line (expressed as the join P .\/ Q ). (Contributed by NM, 16-Sep-2012) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses atmod.b 
|- B = ( Base ` K )
atmod.l 
|- .<_ = ( le ` K )
atmod.j 
|- .\/ = ( join ` K )
atmod.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
atmod.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion llnmod2i2 
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) .\/ Y ) = ( X ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 atmod.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 atmod.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 atmod.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 atmod.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 atmod.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 simp11 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> K e. HL )
7 6 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> K e. Lat )
8 simp13 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> Y e. B )
9 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> P e. A )
10 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> Q e. A )
11 1 3 5 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
12 6 9 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
13 simp12 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> X e. B )
14 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) e. B )
15 7 12 13 14 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) e. B )
16 1 3 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) e. B ) -> ( Y .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) ) = ( ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) .\/ Y ) )
17 7 8 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( Y .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) ) = ( ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) .\/ Y ) )
18 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) -> ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) e. B )
19 7 8 12 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) e. B )
20 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) e. B ) -> ( X ./\ ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) ) = ( ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) ./\ X ) )
21 7 13 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( X ./\ ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) ) = ( ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) ./\ X ) )
22 1 3 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ Y ) = ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) )
23 7 12 8 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ Y ) = ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) )
24 23 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( X ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ Y ) ) = ( X ./\ ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) ) )
25 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> Y .<_ X )
26 1 2 3 4 5 llnmod1i2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( Y .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) ) = ( ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) ./\ X ) )
27 6 8 13 9 10 25 26 syl321anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( Y .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) ) = ( ( Y .\/ ( P .\/ Q ) ) ./\ X ) )
28 21 24 27 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( X ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ Y ) ) = ( Y .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) ) )
29 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) -> ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) )
30 7 13 12 29 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) )
31 30 oveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) .\/ Y ) = ( ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) .\/ Y ) )
32 17 28 31 3eqtr4rd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) .\/ Y ) = ( X ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ Y ) ) )