Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iskgen3.1 |
|- X = U. J |
2 |
|
llycmpkgen2.2 |
|- ( ph -> J e. Top ) |
3 |
|
llycmpkgen2.3 |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( J |`t k ) e. Comp ) |
4 |
|
elssuni |
|- ( u e. ( kGen ` J ) -> u C_ U. ( kGen ` J ) ) |
5 |
4
|
adantl |
|- ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) -> u C_ U. ( kGen ` J ) ) |
6 |
1
|
kgenuni |
|- ( J e. Top -> X = U. ( kGen ` J ) ) |
7 |
2 6
|
syl |
|- ( ph -> X = U. ( kGen ` J ) ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) -> X = U. ( kGen ` J ) ) |
9 |
5 8
|
sseqtrrd |
|- ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) -> u C_ X ) |
10 |
9
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) -> x e. X ) |
11 |
3
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. X ) -> E. k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( J |`t k ) e. Comp ) |
12 |
10 11
|
syldan |
|- ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) -> E. k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( J |`t k ) e. Comp ) |
13 |
2
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> J e. Top ) |
14 |
|
difss |
|- ( X \ ( k \ u ) ) C_ X |
15 |
1
|
ntropn |
|- ( ( J e. Top /\ ( X \ ( k \ u ) ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) e. J ) |
16 |
13 14 15
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) e. J ) |
17 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) |
18 |
1
|
neii1 |
|- ( ( J e. Top /\ k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> k C_ X ) |
19 |
13 17 18
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> k C_ X ) |
20 |
1
|
ntropn |
|- ( ( J e. Top /\ k C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` k ) e. J ) |
21 |
13 19 20
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` k ) e. J ) |
22 |
|
inopn |
|- ( ( J e. Top /\ ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) e. J /\ ( ( int ` J ) ` k ) e. J ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) e. J ) |
23 |
13 16 21 22
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) e. J ) |
24 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> x e. u ) |
25 |
1
|
ntrss2 |
|- ( ( J e. Top /\ k C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` k ) C_ k ) |
26 |
13 19 25
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` k ) C_ k ) |
27 |
10
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> x e. X ) |
28 |
27
|
snssd |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> { x } C_ X ) |
29 |
1
|
neiint |
|- ( ( J e. Top /\ { x } C_ X /\ k C_ X ) -> ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` k ) ) ) |
30 |
13 28 19 29
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` k ) ) ) |
31 |
17 30
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> { x } C_ ( ( int ` J ) ` k ) ) |
32 |
|
vex |
|- x e. _V |
33 |
32
|
snss |
|- ( x e. ( ( int ` J ) ` k ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` k ) ) |
34 |
31 33
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( ( int ` J ) ` k ) ) |
35 |
26 34
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> x e. k ) |
36 |
24 35
|
elind |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( u i^i k ) ) |
37 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> u e. ( kGen ` J ) ) |
38 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( J |`t k ) e. Comp ) |
39 |
|
kgeni |
|- ( ( u e. ( kGen ` J ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) -> ( u i^i k ) e. ( J |`t k ) ) |
40 |
37 38 39
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( u i^i k ) e. ( J |`t k ) ) |
41 |
|
vex |
|- k e. _V |
42 |
|
resttop |
|- ( ( J e. Top /\ k e. _V ) -> ( J |`t k ) e. Top ) |
43 |
13 41 42
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( J |`t k ) e. Top ) |
44 |
|
inss2 |
|- ( u i^i k ) C_ k |
45 |
1
|
restuni |
|- ( ( J e. Top /\ k C_ X ) -> k = U. ( J |`t k ) ) |
46 |
13 19 45
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> k = U. ( J |`t k ) ) |
47 |
44 46
|
sseqtrid |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( u i^i k ) C_ U. ( J |`t k ) ) |
48 |
|
eqid |
|- U. ( J |`t k ) = U. ( J |`t k ) |
49 |
48
|
isopn3 |
|- ( ( ( J |`t k ) e. Top /\ ( u i^i k ) C_ U. ( J |`t k ) ) -> ( ( u i^i k ) e. ( J |`t k ) <-> ( ( int ` ( J |`t k ) ) ` ( u i^i k ) ) = ( u i^i k ) ) ) |
50 |
43 47 49
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( u i^i k ) e. ( J |`t k ) <-> ( ( int ` ( J |`t k ) ) ` ( u i^i k ) ) = ( u i^i k ) ) ) |
51 |
40 50
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` ( J |`t k ) ) ` ( u i^i k ) ) = ( u i^i k ) ) |
52 |
44
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( u i^i k ) C_ k ) |
53 |
|
eqid |
|- ( J |`t k ) = ( J |`t k ) |
54 |
1 53
|
restntr |
|- ( ( J e. Top /\ k C_ X /\ ( u i^i k ) C_ k ) -> ( ( int ` ( J |`t k ) ) ` ( u i^i k ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) i^i k ) ) |
55 |
13 19 52 54
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` ( J |`t k ) ) ` ( u i^i k ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) i^i k ) ) |
56 |
51 55
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( u i^i k ) = ( ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) i^i k ) ) |
57 |
36 56
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) i^i k ) ) |
58 |
57
|
elin1d |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) ) |
59 |
|
undif3 |
|- ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) = ( ( ( u i^i k ) u. X ) \ ( k \ ( u i^i k ) ) ) |
60 |
|
incom |
|- ( u i^i k ) = ( k i^i u ) |
61 |
60
|
difeq2i |
|- ( k \ ( u i^i k ) ) = ( k \ ( k i^i u ) ) |
62 |
|
difin |
|- ( k \ ( k i^i u ) ) = ( k \ u ) |
63 |
61 62
|
eqtri |
|- ( k \ ( u i^i k ) ) = ( k \ u ) |
64 |
63
|
difeq2i |
|- ( ( ( u i^i k ) u. X ) \ ( k \ ( u i^i k ) ) ) = ( ( ( u i^i k ) u. X ) \ ( k \ u ) ) |
65 |
59 64
|
eqtri |
|- ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) = ( ( ( u i^i k ) u. X ) \ ( k \ u ) ) |
66 |
44 19
|
sstrid |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( u i^i k ) C_ X ) |
67 |
|
ssequn1 |
|- ( ( u i^i k ) C_ X <-> ( ( u i^i k ) u. X ) = X ) |
68 |
66 67
|
sylib |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( u i^i k ) u. X ) = X ) |
69 |
68
|
difeq1d |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( u i^i k ) u. X ) \ ( k \ u ) ) = ( X \ ( k \ u ) ) ) |
70 |
65 69
|
eqtrid |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) = ( X \ ( k \ u ) ) ) |
71 |
70
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) ) |
72 |
58 71
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) ) |
73 |
72 34
|
elind |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) ) |
74 |
|
sslin |
|- ( ( ( int ` J ) ` k ) C_ k -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i k ) ) |
75 |
26 74
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i k ) ) |
76 |
1
|
ntrss2 |
|- ( ( J e. Top /\ ( X \ ( k \ u ) ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ ( X \ ( k \ u ) ) ) |
77 |
13 14 76
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ ( X \ ( k \ u ) ) ) |
78 |
77
|
difss2d |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ X ) |
79 |
|
reldisj |
|- ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ X -> ( ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( k \ u ) ) = (/) <-> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ ( X \ ( k \ u ) ) ) ) |
80 |
78 79
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( k \ u ) ) = (/) <-> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ ( X \ ( k \ u ) ) ) ) |
81 |
77 80
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( k \ u ) ) = (/) ) |
82 |
|
inssdif0 |
|- ( ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i k ) C_ u <-> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( k \ u ) ) = (/) ) |
83 |
81 82
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i k ) C_ u ) |
84 |
75 83
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ u ) |
85 |
|
eleq2 |
|- ( z = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) -> ( x e. z <-> x e. ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) ) ) |
86 |
|
sseq1 |
|- ( z = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) -> ( z C_ u <-> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ u ) ) |
87 |
85 86
|
anbi12d |
|- ( z = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) -> ( ( x e. z /\ z C_ u ) <-> ( x e. ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) /\ ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ u ) ) ) |
88 |
87
|
rspcev |
|- ( ( ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) e. J /\ ( x e. ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) /\ ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ u ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) ) |
89 |
23 73 84 88
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J |`t k ) e. Comp ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) ) |
90 |
12 89
|
rexlimddv |
|- ( ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) /\ x e. u ) -> E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) ) |
91 |
90
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ u e. ( kGen ` J ) ) -> A. x e. u E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) ) |
92 |
91
|
ex |
|- ( ph -> ( u e. ( kGen ` J ) -> A. x e. u E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) ) ) |
93 |
|
eltop2 |
|- ( J e. Top -> ( u e. J <-> A. x e. u E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) ) ) |
94 |
2 93
|
syl |
|- ( ph -> ( u e. J <-> A. x e. u E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) ) ) |
95 |
92 94
|
sylibrd |
|- ( ph -> ( u e. ( kGen ` J ) -> u e. J ) ) |
96 |
95
|
ssrdv |
|- ( ph -> ( kGen ` J ) C_ J ) |
97 |
|
iskgen2 |
|- ( J e. ran kGen <-> ( J e. Top /\ ( kGen ` J ) C_ J ) ) |
98 |
2 96 97
|
sylanbrc |
|- ( ph -> J e. ran kGen ) |