Metamath Proof Explorer

Theorem ltrnco4

Description: Rearrange a composition of 4 translations, analogous to an4 . (Contributed by NM, 10-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses ltrncom.h 
|- H = ( LHyp ` K )
ltrncom.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion ltrnco4 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ E e. T /\ F e. T ) -> ( ( D o. E ) o. ( F o. G ) ) = ( ( D o. F ) o. ( E o. G ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltrncom.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 ltrncom.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 1 2 ltrncom 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ E e. T /\ F e. T ) -> ( E o. F ) = ( F o. E ) )
4 3 coeq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ E e. T /\ F e. T ) -> ( ( E o. F ) o. G ) = ( ( F o. E ) o. G ) )
5 coass 
 |-  ( ( E o. F ) o. G ) = ( E o. ( F o. G ) )
6 coass 
 |-  ( ( F o. E ) o. G ) = ( F o. ( E o. G ) )
7 4 5 6 3eqtr3g 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ E e. T /\ F e. T ) -> ( E o. ( F o. G ) ) = ( F o. ( E o. G ) ) )
8 7 coeq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ E e. T /\ F e. T ) -> ( D o. ( E o. ( F o. G ) ) ) = ( D o. ( F o. ( E o. G ) ) ) )
9 coass 
 |-  ( ( D o. E ) o. ( F o. G ) ) = ( D o. ( E o. ( F o. G ) ) )
10 coass 
 |-  ( ( D o. F ) o. ( E o. G ) ) = ( D o. ( F o. ( E o. G ) ) )
11 8 9 10 3eqtr4g 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ E e. T /\ F e. T ) -> ( ( D o. E ) o. ( F o. G ) ) = ( ( D o. F ) o. ( E o. G ) ) )