Theorem ltrncoelN

Description: Composition of lattice translations of an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel uses. (Contributed by NM, 1-May-2013) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	ltrnel.l	|- .<_ = ( le ` K )
	ltrnel.a	|- A = ( Atoms ` K )
	ltrnel.h	|- H = ( LHyp ` K )
	ltrnel.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion	ltrncoelN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ -. ( F ` ( G ` P ) ) .<_ W ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnel.l	|- .<_ = ( le ` K )
2		ltrnel.a	|- A = ( Atoms ` K )
3		ltrnel.h	|- H = ( LHyp ` K )
4		ltrnel.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5		simp1	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6		simp2l	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T )
7	1 2 3 4	ltrnel	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
8	7	3adant2l	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
9	1 2 3 4	ltrnel	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ -. ( F ` ( G ` P ) ) .<_ W ) )
10	5 6 8 9	syl3anc	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ -. ( F ` ( G ` P ) ) .<_ W ) )