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Theorem ltrnel

Description: The lattice translation of an atom not under the fiducial co-atom is also an atom not under the fiducial co-atom. Remark below Lemma B in Crawley p. 112. (Contributed by NM, 22-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses ltrnel.l 
|- .<_ = ( le ` K )
ltrnel.a 
|- A = ( Atoms ` K )
ltrnel.h 
|- H = ( LHyp ` K )
ltrnel.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion ltrnel 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltrnel.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 ltrnel.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
3 ltrnel.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 ltrnel.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
6 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
7 6 2 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
8 7 adantr 
 |-  ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) -> P e. ( Base ` K ) )
9 6 2 3 4 ltrnatb 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. ( Base ` K ) ) -> ( P e. A <-> ( F ` P ) e. A ) )
10 8 9 syl3an3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P e. A <-> ( F ` P ) e. A ) )
11 5 10 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( F ` P ) e. A )
12 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> -. P .<_ W )
13 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
14 simp2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T )
15 5 7 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
16 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H )
17 6 3 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
18 16 17 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
19 6 1 3 4 ltrnle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( P .<_ W <-> ( F ` P ) .<_ ( F ` W ) ) )
20 13 14 15 18 19 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .<_ W <-> ( F ` P ) .<_ ( F ` W ) ) )
21 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL )
22 21 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. Lat )
23 6 1 latref 
 |-  ( ( K e. Lat /\ W e. ( Base ` K ) ) -> W .<_ W )
24 22 18 23 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W .<_ W )
25 6 1 3 4 ltrnval1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( W e. ( Base ` K ) /\ W .<_ W ) ) -> ( F ` W ) = W )
26 13 14 18 24 25 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( F ` W ) = W )
27 26 breq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) .<_ ( F ` W ) <-> ( F ` P ) .<_ W ) )
28 20 27 bitrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .<_ W <-> ( F ` P ) .<_ W ) )
29 12 28 mtbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> -. ( F ` P ) .<_ W )
30 11 29 jca 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) )