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Theorem ltrneq2

Description: The equality of two translations is determined by their equality at atoms. (Contributed by NM, 2-Mar-2014)

Ref Expression
Hypotheses ltrneq2.a 
|- A = ( Atoms ` K )
ltrneq2.h 
|- H = ( LHyp ` K )
ltrneq2.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion ltrneq2 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) <-> F = G ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltrneq2.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
2 ltrneq2.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
3 ltrneq2.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
4 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
5 simpl3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> G e. T )
6 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
7 6 2 3 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
8 4 5 7 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
9 simpl2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> F e. T )
10 simpr3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> q e. A )
11 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
12 11 1 2 3 ltrncnvat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ q e. A ) -> ( `' F ` q ) e. A )
13 4 9 10 12 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( `' F ` q ) e. A )
14 6 1 atbase 
 |-  ( ( `' F ` q ) e. A -> ( `' F ` q ) e. ( Base ` K ) )
15 13 14 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( `' F ` q ) e. ( Base ` K ) )
16 f1ocnvfv1 
 |-  ( ( G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ ( `' F ` q ) e. ( Base ` K ) ) -> ( `' G ` ( G ` ( `' F ` q ) ) ) = ( `' F ` q ) )
17 8 15 16 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( `' G ` ( G ` ( `' F ` q ) ) ) = ( `' F ` q ) )
18 simpr2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) )
19 fveq2 
 |-  ( p = ( `' F ` q ) -> ( F ` p ) = ( F ` ( `' F ` q ) ) )
20 fveq2 
 |-  ( p = ( `' F ` q ) -> ( G ` p ) = ( G ` ( `' F ` q ) ) )
21 19 20 eqeq12d 
 |-  ( p = ( `' F ` q ) -> ( ( F ` p ) = ( G ` p ) <-> ( F ` ( `' F ` q ) ) = ( G ` ( `' F ` q ) ) ) )
22 21 rspcv 
 |-  ( ( `' F ` q ) e. A -> ( A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) -> ( F ` ( `' F ` q ) ) = ( G ` ( `' F ` q ) ) ) )
23 13 18 22 sylc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( F ` ( `' F ` q ) ) = ( G ` ( `' F ` q ) ) )
24 6 2 3 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
25 4 9 24 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
26 6 1 atbase 
 |-  ( q e. A -> q e. ( Base ` K ) )
27 10 26 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> q e. ( Base ` K ) )
28 f1ocnvfv2 
 |-  ( ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ q e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` ( `' F ` q ) ) = q )
29 25 27 28 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( F ` ( `' F ` q ) ) = q )
30 23 29 eqtr3d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( G ` ( `' F ` q ) ) = q )
31 30 fveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( `' G ` ( G ` ( `' F ` q ) ) ) = ( `' G ` q ) )
32 17 31 eqtr3d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( `' F ` q ) = ( `' G ` q ) )
33 32 breq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( ( `' F ` q ) ( le ` K ) x <-> ( `' G ` q ) ( le ` K ) x ) )
34 simpr1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> x e. ( Base ` K ) )
35 f1ocnvfv1 
 |-  ( ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( `' F ` ( F ` x ) ) = x )
36 25 34 35 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( `' F ` ( F ` x ) ) = x )
37 36 breq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( ( `' F ` q ) ( le ` K ) ( `' F ` ( F ` x ) ) <-> ( `' F ` q ) ( le ` K ) x ) )
38 f1ocnvfv1 
 |-  ( ( G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( `' G ` ( G ` x ) ) = x )
39 8 34 38 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( `' G ` ( G ` x ) ) = x )
40 39 breq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( ( `' G ` q ) ( le ` K ) ( `' G ` ( G ` x ) ) <-> ( `' G ` q ) ( le ` K ) x ) )
41 33 37 40 3bitr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( ( `' F ` q ) ( le ` K ) ( `' F ` ( F ` x ) ) <-> ( `' G ` q ) ( le ` K ) ( `' G ` ( G ` x ) ) ) )
42 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> K e. HL )
43 eqid 
 |-  ( LAut ` K ) = ( LAut ` K )
44 2 43 3 ltrnlaut 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( LAut ` K ) )
45 4 9 44 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> F e. ( LAut ` K ) )
46 6 2 3 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` K ) )
47 4 9 34 46 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` K ) )
48 6 11 43 lautcnvle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ F e. ( LAut ` K ) ) /\ ( q e. ( Base ` K ) /\ ( F ` x ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( q ( le ` K ) ( F ` x ) <-> ( `' F ` q ) ( le ` K ) ( `' F ` ( F ` x ) ) ) )
49 42 45 27 47 48 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( q ( le ` K ) ( F ` x ) <-> ( `' F ` q ) ( le ` K ) ( `' F ` ( F ` x ) ) ) )
50 2 43 3 ltrnlaut 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G e. ( LAut ` K ) )
51 4 5 50 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> G e. ( LAut ` K ) )
52 6 2 3 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` K ) )
53 4 5 34 52 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` K ) )
54 6 11 43 lautcnvle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ G e. ( LAut ` K ) ) /\ ( q e. ( Base ` K ) /\ ( G ` x ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( q ( le ` K ) ( G ` x ) <-> ( `' G ` q ) ( le ` K ) ( `' G ` ( G ` x ) ) ) )
55 42 51 27 53 54 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( q ( le ` K ) ( G ` x ) <-> ( `' G ` q ) ( le ` K ) ( `' G ` ( G ` x ) ) ) )
56 41 49 55 3bitr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) /\ q e. A ) ) -> ( q ( le ` K ) ( F ` x ) <-> q ( le ` K ) ( G ` x ) ) )
57 56 3exp2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( x e. ( Base ` K ) -> ( A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) -> ( q e. A -> ( q ( le ` K ) ( F ` x ) <-> q ( le ` K ) ( G ` x ) ) ) ) ) )
58 57 imp 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) -> ( q e. A -> ( q ( le ` K ) ( F ` x ) <-> q ( le ` K ) ( G ` x ) ) ) ) )
59 58 ralrimdv 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) -> A. q e. A ( q ( le ` K ) ( F ` x ) <-> q ( le ` K ) ( G ` x ) ) ) )
60 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> K e. HL )
61 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
62 simpl2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> F e. T )
63 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> x e. ( Base ` K ) )
64 61 62 63 46 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` K ) )
65 simpl3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> G e. T )
66 61 65 63 52 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` K ) )
67 6 11 1 hlateq 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( F ` x ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` x ) e. ( Base ` K ) ) -> ( A. q e. A ( q ( le ` K ) ( F ` x ) <-> q ( le ` K ) ( G ` x ) ) <-> ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
68 60 64 66 67 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( A. q e. A ( q ( le ` K ) ( F ` x ) <-> q ( le ` K ) ( G ` x ) ) <-> ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
69 59 68 sylibd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
70 69 ralrimdva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) -> A. x e. ( Base ` K ) ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
71 24 3adant3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
72 f1ofn 
 |-  ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> F Fn ( Base ` K ) )
73 71 72 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> F Fn ( Base ` K ) )
74 7 3adant2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
75 f1ofn 
 |-  ( G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> G Fn ( Base ` K ) )
76 74 75 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> G Fn ( Base ` K ) )
77 eqfnfv 
 |-  ( ( F Fn ( Base ` K ) /\ G Fn ( Base ` K ) ) -> ( F = G <-> A. x e. ( Base ` K ) ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
78 73 76 77 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F = G <-> A. x e. ( Base ` K ) ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
79 70 78 sylibrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) -> F = G ) )
80 fveq1 
 |-  ( F = G -> ( F ` p ) = ( G ` p ) )
81 80 ralrimivw 
 |-  ( F = G -> A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) )
82 79 81 impbid1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) <-> F = G ) )