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Theorem luk-2

Description: 2 of 3 axioms for propositional calculus due to Lukasiewicz, derived from Meredith's sole axiom. (Contributed by NM, 14-Dec-2002) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion luk-2 
|- ( ( -. ph -> ph ) -> ph )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 merlem5 
 |-  ( ( ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) -> ( -. -. ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) )
2 merlem4 
 |-  ( ( ( ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) -> ( -. -. ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) -> ( -. -. ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) ) -> -. ph ) -> ( ( ( ( ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) -> ( -. -. ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) ) -> -. ph ) -> -. ph ) ) )
3 1 2 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) -> ( -. -. ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) ) -> -. ph ) -> ( ( ( ( ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) -> ( -. -. ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) ) -> -. ph ) -> -. ph ) )
4 merlem11 
 |-  ( ( ( ( ( ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) -> ( -. -. ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) ) -> -. ph ) -> ( ( ( ( ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) -> ( -. -. ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) ) -> -. ph ) -> -. ph ) ) -> ( ( ( ( ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) -> ( -. -. ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) ) -> -. ph ) -> -. ph ) )
5 3 4 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) -> ( -. -. ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) ) -> -. ph ) -> -. ph )
6 meredith 
 |-  ( ( ( ( ( ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) -> ( -. -. ph -> -. ( -. ph -> ph ) ) ) -> -. ph ) -> -. ph ) -> ( ( -. ph -> ph ) -> ( ( -. ph -> ph ) -> ph ) ) )
7 5 6 ax-mp 
 |-  ( ( -. ph -> ph ) -> ( ( -. ph -> ph ) -> ph ) )
8 merlem11 
 |-  ( ( ( -. ph -> ph ) -> ( ( -. ph -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( -. ph -> ph ) -> ph ) )
9 7 8 ax-mp 
 |-  ( ( -. ph -> ph ) -> ph )