Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mamucl.b |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
mamucl.r |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
3 |
|
mamuass.m |
|- ( ph -> M e. Fin ) |
4 |
|
mamuass.n |
|- ( ph -> N e. Fin ) |
5 |
|
mamuass.o |
|- ( ph -> O e. Fin ) |
6 |
|
mamuass.p |
|- ( ph -> P e. Fin ) |
7 |
|
mamuass.x |
|- ( ph -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) ) |
8 |
|
mamuass.y |
|- ( ph -> Y e. ( B ^m ( N X. O ) ) ) |
9 |
|
mamuass.z |
|- ( ph -> Z e. ( B ^m ( O X. P ) ) ) |
10 |
|
mamuass.f |
|- F = ( R maMul <. M , N , O >. ) |
11 |
|
mamuass.g |
|- G = ( R maMul <. M , O , P >. ) |
12 |
|
mamuass.h |
|- H = ( R maMul <. M , N , P >. ) |
13 |
|
mamuass.i |
|- I = ( R maMul <. N , O , P >. ) |
14 |
2
|
ringcmnd |
|- ( ph -> R e. CMnd ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> R e. CMnd ) |
16 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> O e. Fin ) |
17 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> N e. Fin ) |
18 |
|
eqid |
|- ( .r ` R ) = ( .r ` R ) |
19 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> R e. Ring ) |
20 |
|
elmapi |
|- ( X e. ( B ^m ( M X. N ) ) -> X : ( M X. N ) --> B ) |
21 |
7 20
|
syl |
|- ( ph -> X : ( M X. N ) --> B ) |
22 |
21
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> X : ( M X. N ) --> B ) |
23 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> i e. M ) |
24 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> l e. N ) |
25 |
22 23 24
|
fovcdmd |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( i X l ) e. B ) |
26 |
25
|
adantrl |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( i X l ) e. B ) |
27 |
|
elmapi |
|- ( Y e. ( B ^m ( N X. O ) ) -> Y : ( N X. O ) --> B ) |
28 |
8 27
|
syl |
|- ( ph -> Y : ( N X. O ) --> B ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> Y : ( N X. O ) --> B ) |
30 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> l e. N ) |
31 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> j e. O ) |
32 |
29 30 31
|
fovcdmd |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( l Y j ) e. B ) |
33 |
|
elmapi |
|- ( Z e. ( B ^m ( O X. P ) ) -> Z : ( O X. P ) --> B ) |
34 |
9 33
|
syl |
|- ( ph -> Z : ( O X. P ) --> B ) |
35 |
34
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> Z : ( O X. P ) --> B ) |
36 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> j e. O ) |
37 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> k e. P ) |
38 |
35 36 37
|
fovcdmd |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( j Z k ) e. B ) |
39 |
38
|
adantrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( j Z k ) e. B ) |
40 |
1 18 19 32 39
|
ringcld |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. B ) |
41 |
1 18 19 26 40
|
ringcld |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) e. B ) |
42 |
1 15 16 17 41
|
gsumcom3fi |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( R gsum ( j e. O |-> ( R gsum ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( l e. N |-> ( R gsum ( j e. O |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) ) |
43 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> R e. Ring ) |
44 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> M e. Fin ) |
45 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> N e. Fin ) |
46 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> O e. Fin ) |
47 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) ) |
48 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> Y e. ( B ^m ( N X. O ) ) ) |
49 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> i e. M ) |
50 |
10 1 18 43 44 45 46 47 48 49 36
|
mamufv |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( i ( X F Y ) j ) = ( R gsum ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ) ) ) |
51 |
50
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( R gsum ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) |
52 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
53 |
1 18 19 26 32
|
ringcld |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) e. B ) |
54 |
53
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) /\ l e. N ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) e. B ) |
55 |
|
eqid |
|- ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ) = ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ) |
56 |
|
ovexd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) /\ l e. N ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) e. _V ) |
57 |
|
fvexd |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( 0g ` R ) e. _V ) |
58 |
55 45 56 57
|
fsuppmptdm |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
59 |
1 52 18 43 45 38 54 58
|
gsummulc1 |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( R gsum ( l e. N |-> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) = ( ( R gsum ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) |
60 |
1 18
|
ringass |
|- ( ( R e. Ring /\ ( ( i X l ) e. B /\ ( l Y j ) e. B /\ ( j Z k ) e. B ) ) -> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) |
61 |
19 26 32 39 60
|
syl13anc |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) |
62 |
61
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) /\ l e. N ) -> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) |
63 |
62
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( l e. N |-> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) |
64 |
63
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( R gsum ( l e. N |-> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) = ( R gsum ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) |
65 |
51 59 64
|
3eqtr2d |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( R gsum ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) |
66 |
65
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( j e. O |-> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( j e. O |-> ( R gsum ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) |
67 |
66
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( R gsum ( j e. O |-> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) = ( R gsum ( j e. O |-> ( R gsum ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) ) |
68 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> R e. Ring ) |
69 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> N e. Fin ) |
70 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> O e. Fin ) |
71 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> P e. Fin ) |
72 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> Y e. ( B ^m ( N X. O ) ) ) |
73 |
9
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> Z e. ( B ^m ( O X. P ) ) ) |
74 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> k e. P ) |
75 |
13 1 18 68 69 70 71 72 73 24 74
|
mamufv |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( l ( Y I Z ) k ) = ( R gsum ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) |
76 |
75
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) = ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( R gsum ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) |
77 |
40
|
anass1rs |
|- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) /\ j e. O ) -> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. B ) |
78 |
|
eqid |
|- ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) |
79 |
|
ovexd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) /\ j e. O ) -> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. _V ) |
80 |
|
fvexd |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( 0g ` R ) e. _V ) |
81 |
78 70 79 80
|
fsuppmptdm |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
82 |
1 52 18 68 70 25 77 81
|
gsummulc2 |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( R gsum ( j e. O |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) = ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( R gsum ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) |
83 |
76 82
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) = ( R gsum ( j e. O |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) |
84 |
83
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) = ( l e. N |-> ( R gsum ( j e. O |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) |
85 |
84
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( R gsum ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) = ( R gsum ( l e. N |-> ( R gsum ( j e. O |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) ) |
86 |
42 67 85
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( R gsum ( j e. O |-> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) = ( R gsum ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) ) |
87 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> R e. Ring ) |
88 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> M e. Fin ) |
89 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> P e. Fin ) |
90 |
1 2 10 3 4 5 7 8
|
mamucl |
|- ( ph -> ( X F Y ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) ) |
91 |
90
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( X F Y ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) ) |
92 |
9
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> Z e. ( B ^m ( O X. P ) ) ) |
93 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> i e. M ) |
94 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> k e. P ) |
95 |
11 1 18 87 88 16 89 91 92 93 94
|
mamufv |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( i ( ( X F Y ) G Z ) k ) = ( R gsum ( j e. O |-> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) |
96 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) ) |
97 |
1 2 13 4 5 6 8 9
|
mamucl |
|- ( ph -> ( Y I Z ) e. ( B ^m ( N X. P ) ) ) |
98 |
97
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( Y I Z ) e. ( B ^m ( N X. P ) ) ) |
99 |
12 1 18 87 88 17 89 96 98 93 94
|
mamufv |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) = ( R gsum ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) ) |
100 |
86 95 99
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( i ( ( X F Y ) G Z ) k ) = ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) |
101 |
100
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. i e. M A. k e. P ( i ( ( X F Y ) G Z ) k ) = ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) |
102 |
1 2 11 3 5 6 90 9
|
mamucl |
|- ( ph -> ( ( X F Y ) G Z ) e. ( B ^m ( M X. P ) ) ) |
103 |
|
elmapi |
|- ( ( ( X F Y ) G Z ) e. ( B ^m ( M X. P ) ) -> ( ( X F Y ) G Z ) : ( M X. P ) --> B ) |
104 |
|
ffn |
|- ( ( ( X F Y ) G Z ) : ( M X. P ) --> B -> ( ( X F Y ) G Z ) Fn ( M X. P ) ) |
105 |
102 103 104
|
3syl |
|- ( ph -> ( ( X F Y ) G Z ) Fn ( M X. P ) ) |
106 |
1 2 12 3 4 6 7 97
|
mamucl |
|- ( ph -> ( X H ( Y I Z ) ) e. ( B ^m ( M X. P ) ) ) |
107 |
|
elmapi |
|- ( ( X H ( Y I Z ) ) e. ( B ^m ( M X. P ) ) -> ( X H ( Y I Z ) ) : ( M X. P ) --> B ) |
108 |
|
ffn |
|- ( ( X H ( Y I Z ) ) : ( M X. P ) --> B -> ( X H ( Y I Z ) ) Fn ( M X. P ) ) |
109 |
106 107 108
|
3syl |
|- ( ph -> ( X H ( Y I Z ) ) Fn ( M X. P ) ) |
110 |
|
eqfnov2 |
|- ( ( ( ( X F Y ) G Z ) Fn ( M X. P ) /\ ( X H ( Y I Z ) ) Fn ( M X. P ) ) -> ( ( ( X F Y ) G Z ) = ( X H ( Y I Z ) ) <-> A. i e. M A. k e. P ( i ( ( X F Y ) G Z ) k ) = ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) ) |
111 |
105 109 110
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( ( X F Y ) G Z ) = ( X H ( Y I Z ) ) <-> A. i e. M A. k e. P ( i ( ( X F Y ) G Z ) k ) = ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) ) |
112 |
101 111
|
mpbird |
|- ( ph -> ( ( X F Y ) G Z ) = ( X H ( Y I Z ) ) ) |