Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mdetrlin2.d |
|- D = ( N maDet R ) |
2 |
|
mdetrlin2.k |
|- K = ( Base ` R ) |
3 |
|
mdetrlin2.p |
|- .+ = ( +g ` R ) |
4 |
|
mdetrlin2.r |
|- ( ph -> R e. CRing ) |
5 |
|
mdetrlin2.n |
|- ( ph -> N e. Fin ) |
6 |
|
mdetrlin2.x |
|- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> X e. K ) |
7 |
|
mdetrlin2.y |
|- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> Y e. K ) |
8 |
|
mdetrlin2.z |
|- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> Z e. K ) |
9 |
|
mdetrlin2.i |
|- ( ph -> I e. N ) |
10 |
|
eqid |
|- ( N Mat R ) = ( N Mat R ) |
11 |
|
eqid |
|- ( Base ` ( N Mat R ) ) = ( Base ` ( N Mat R ) ) |
12 |
|
crngring |
|- ( R e. CRing -> R e. Ring ) |
13 |
4 12
|
syl |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
14 |
13
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Ring ) |
15 |
2 3
|
ringacl |
|- ( ( R e. Ring /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X .+ Y ) e. K ) |
16 |
14 6 7 15
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( X .+ Y ) e. K ) |
17 |
16 8
|
ifcld |
|- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) e. K ) |
18 |
10 2 11 5 4 17
|
matbas2d |
|- ( ph -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) ) |
19 |
6 8
|
ifcld |
|- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> if ( i = I , X , Z ) e. K ) |
20 |
10 2 11 5 4 19
|
matbas2d |
|- ( ph -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) ) |
21 |
7 8
|
ifcld |
|- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> if ( i = I , Y , Z ) e. K ) |
22 |
10 2 11 5 4 21
|
matbas2d |
|- ( ph -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) ) |
23 |
|
snex |
|- { I } e. _V |
24 |
23
|
a1i |
|- ( ph -> { I } e. _V ) |
25 |
9
|
snssd |
|- ( ph -> { I } C_ N ) |
26 |
25
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ i e. { I } /\ j e. N ) -> { I } C_ N ) |
27 |
|
simp2 |
|- ( ( ph /\ i e. { I } /\ j e. N ) -> i e. { I } ) |
28 |
26 27
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ i e. { I } /\ j e. N ) -> i e. N ) |
29 |
28 6
|
syld3an2 |
|- ( ( ph /\ i e. { I } /\ j e. N ) -> X e. K ) |
30 |
28 7
|
syld3an2 |
|- ( ( ph /\ i e. { I } /\ j e. N ) -> Y e. K ) |
31 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( i e. { I } , j e. N |-> X ) = ( i e. { I } , j e. N |-> X ) ) |
32 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( i e. { I } , j e. N |-> Y ) = ( i e. { I } , j e. N |-> Y ) ) |
33 |
24 5 29 30 31 32
|
offval22 |
|- ( ph -> ( ( i e. { I } , j e. N |-> X ) oF .+ ( i e. { I } , j e. N |-> Y ) ) = ( i e. { I } , j e. N |-> ( X .+ Y ) ) ) |
34 |
33
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( i e. { I } , j e. N |-> ( X .+ Y ) ) = ( ( i e. { I } , j e. N |-> X ) oF .+ ( i e. { I } , j e. N |-> Y ) ) ) |
35 |
|
mposnif |
|- ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) = ( i e. { I } , j e. N |-> ( X .+ Y ) ) |
36 |
|
mposnif |
|- ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) = ( i e. { I } , j e. N |-> X ) |
37 |
|
mposnif |
|- ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) = ( i e. { I } , j e. N |-> Y ) |
38 |
36 37
|
oveq12i |
|- ( ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) oF .+ ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) ) = ( ( i e. { I } , j e. N |-> X ) oF .+ ( i e. { I } , j e. N |-> Y ) ) |
39 |
34 35 38
|
3eqtr4g |
|- ( ph -> ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) = ( ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) oF .+ ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) ) ) |
40 |
|
ssid |
|- N C_ N |
41 |
|
resmpo |
|- ( ( { I } C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) |` ( { I } X. N ) ) = ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) ) |
42 |
25 40 41
|
sylancl |
|- ( ph -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) |` ( { I } X. N ) ) = ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) ) |
43 |
|
resmpo |
|- ( ( { I } C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) |` ( { I } X. N ) ) = ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) ) |
44 |
25 40 43
|
sylancl |
|- ( ph -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) |` ( { I } X. N ) ) = ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) ) |
45 |
|
resmpo |
|- ( ( { I } C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) |` ( { I } X. N ) ) = ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) ) |
46 |
25 40 45
|
sylancl |
|- ( ph -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) |` ( { I } X. N ) ) = ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) ) |
47 |
44 46
|
oveq12d |
|- ( ph -> ( ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) |` ( { I } X. N ) ) oF .+ ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) |` ( { I } X. N ) ) ) = ( ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) oF .+ ( i e. { I } , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) ) ) |
48 |
39 42 47
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) |` ( { I } X. N ) ) = ( ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) |` ( { I } X. N ) ) oF .+ ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) |` ( { I } X. N ) ) ) ) |
49 |
|
eldifsni |
|- ( i e. ( N \ { I } ) -> i =/= I ) |
50 |
49
|
neneqd |
|- ( i e. ( N \ { I } ) -> -. i = I ) |
51 |
|
iffalse |
|- ( -. i = I -> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) = Z ) |
52 |
|
iffalse |
|- ( -. i = I -> if ( i = I , X , Z ) = Z ) |
53 |
51 52
|
eqtr4d |
|- ( -. i = I -> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) = if ( i = I , X , Z ) ) |
54 |
50 53
|
syl |
|- ( i e. ( N \ { I } ) -> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) = if ( i = I , X , Z ) ) |
55 |
54
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ph /\ i e. ( N \ { I } ) /\ j e. N ) -> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) = if ( i = I , X , Z ) ) |
56 |
55
|
mpoeq3dva |
|- ( ph -> ( i e. ( N \ { I } ) , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) = ( i e. ( N \ { I } ) , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) ) |
57 |
|
difss |
|- ( N \ { I } ) C_ N |
58 |
|
resmpo |
|- ( ( ( N \ { I } ) C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( i e. ( N \ { I } ) , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) ) |
59 |
57 40 58
|
mp2an |
|- ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( i e. ( N \ { I } ) , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) |
60 |
|
resmpo |
|- ( ( ( N \ { I } ) C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( i e. ( N \ { I } ) , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) ) |
61 |
57 40 60
|
mp2an |
|- ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( i e. ( N \ { I } ) , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) |
62 |
56 59 61
|
3eqtr4g |
|- ( ph -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ) |
63 |
|
iffalse |
|- ( -. i = I -> if ( i = I , Y , Z ) = Z ) |
64 |
51 63
|
eqtr4d |
|- ( -. i = I -> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) = if ( i = I , Y , Z ) ) |
65 |
50 64
|
syl |
|- ( i e. ( N \ { I } ) -> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) = if ( i = I , Y , Z ) ) |
66 |
65
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ph /\ i e. ( N \ { I } ) /\ j e. N ) -> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) = if ( i = I , Y , Z ) ) |
67 |
66
|
mpoeq3dva |
|- ( ph -> ( i e. ( N \ { I } ) , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) = ( i e. ( N \ { I } ) , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) ) |
68 |
|
resmpo |
|- ( ( ( N \ { I } ) C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( i e. ( N \ { I } ) , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) ) |
69 |
57 40 68
|
mp2an |
|- ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( i e. ( N \ { I } ) , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) |
70 |
67 59 69
|
3eqtr4g |
|- ( ph -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ) |
71 |
1 10 11 3 4 18 20 22 9 48 62 70
|
mdetrlin |
|- ( ph -> ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( X .+ Y ) , Z ) ) ) = ( ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , X , Z ) ) ) .+ ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , Y , Z ) ) ) ) ) |