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Theorem mdetuni0

Description: Lemma for mdetuni . (Contributed by SO, 15-Jul-2018)

Ref Expression
Hypotheses mdetuni.a 
|- A = ( N Mat R )
mdetuni.b 
|- B = ( Base ` A )
mdetuni.k 
|- K = ( Base ` R )
mdetuni.0g 
|- .0. = ( 0g ` R )
mdetuni.1r 
|- .1. = ( 1r ` R )
mdetuni.pg 
|- .+ = ( +g ` R )
mdetuni.tg 
|- .x. = ( .r ` R )
mdetuni.n 
|- ( ph -> N e. Fin )
mdetuni.r 
|- ( ph -> R e. Ring )
mdetuni.ff 
|- ( ph -> D : B --> K )
mdetuni.al 
|- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
mdetuni.li 
|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
mdetuni.sc 
|- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
mdetuni.e 
|- E = ( N maDet R )
mdetuni.cr 
|- ( ph -> R e. CRing )
mdetuni.f 
|- ( ph -> F e. B )
Assertion mdetuni0 
|- ( ph -> ( D ` F ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mdetuni.a 
 |-  A = ( N Mat R )
2 mdetuni.b 
 |-  B = ( Base ` A )
3 mdetuni.k 
 |-  K = ( Base ` R )
4 mdetuni.0g 
 |-  .0. = ( 0g ` R )
5 mdetuni.1r 
 |-  .1. = ( 1r ` R )
6 mdetuni.pg 
 |-  .+ = ( +g ` R )
7 mdetuni.tg 
 |-  .x. = ( .r ` R )
8 mdetuni.n 
 |-  ( ph -> N e. Fin )
9 mdetuni.r 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
10 mdetuni.ff 
 |-  ( ph -> D : B --> K )
11 mdetuni.al 
 |-  ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
12 mdetuni.li 
 |-  ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
13 mdetuni.sc 
 |-  ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
14 mdetuni.e 
 |-  E = ( N maDet R )
15 mdetuni.cr 
 |-  ( ph -> R e. CRing )
16 mdetuni.f 
 |-  ( ph -> F e. B )
17 ringgrp 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Grp )
18 9 17 syl 
 |-  ( ph -> R e. Grp )
19 18 adantr 
 |-  ( ( ph /\ a e. B ) -> R e. Grp )
20 10 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ph /\ a e. B ) -> ( D ` a ) e. K )
21 9 adantr 
 |-  ( ( ph /\ a e. B ) -> R e. Ring )
22 8 9 jca 
 |-  ( ph -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
23 1 matring 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
24 eqid 
 |-  ( 1r ` A ) = ( 1r ` A )
25 2 24 ringidcl 
 |-  ( A e. Ring -> ( 1r ` A ) e. B )
26 22 23 25 3syl 
 |-  ( ph -> ( 1r ` A ) e. B )
27 10 26 ffvelcdmd 
 |-  ( ph -> ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K )
28 27 adantr 
 |-  ( ( ph /\ a e. B ) -> ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K )
29 14 1 2 3 mdetf 
 |-  ( R e. CRing -> E : B --> K )
30 15 29 syl 
 |-  ( ph -> E : B --> K )
31 30 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ph /\ a e. B ) -> ( E ` a ) e. K )
32 3 7 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` a ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) e. K )
33 21 28 31 32 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) e. K )
34 eqid 
 |-  ( -g ` R ) = ( -g ` R )
35 3 34 grpsubcl 
 |-  ( ( R e. Grp /\ ( D ` a ) e. K /\ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) e. K ) -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) e. K )
36 19 20 33 35 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) e. K )
37 36 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) : B --> K )
38 simpr1 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) -> b e. B )
39 fveq2 
 |-  ( a = b -> ( D ` a ) = ( D ` b ) )
40 fveq2 
 |-  ( a = b -> ( E ` a ) = ( E ` b ) )
41 40 oveq2d 
 |-  ( a = b -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) )
42 39 41 oveq12d 
 |-  ( a = b -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
43 eqid 
 |-  ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) = ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) )
44 ovex 
 |-  ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) e. _V
45 42 43 44 fvmpt 
 |-  ( b e. B -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
46 38 45 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
47 46 3adant3 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
48 simp1 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ph )
49 simp21 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> b e. B )
50 simp3r 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) )
51 oveq2 
 |-  ( e = w -> ( c b e ) = ( c b w ) )
52 oveq2 
 |-  ( e = w -> ( d b e ) = ( d b w ) )
53 51 52 eqeq12d 
 |-  ( e = w -> ( ( c b e ) = ( d b e ) <-> ( c b w ) = ( d b w ) ) )
54 53 cbvralvw 
 |-  ( A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) <-> A. w e. N ( c b w ) = ( d b w ) )
55 50 54 sylib 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> A. w e. N ( c b w ) = ( d b w ) )
56 simp22 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> c e. N )
57 simp23 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> d e. N )
58 simp3l 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> c =/= d )
59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 mdetunilem1 
 |-  ( ( ( ph /\ b e. B /\ A. w e. N ( c b w ) = ( d b w ) ) /\ ( c e. N /\ d e. N /\ c =/= d ) ) -> ( D ` b ) = .0. )
60 48 49 55 56 57 58 59 syl33anc 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( D ` b ) = .0. )
61 15 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> R e. CRing )
62 14 1 2 4 61 49 56 57 58 50 mdetralt 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( E ` b ) = .0. )
63 62 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) )
64 60 63 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) = ( .0. ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) ) )
65 3 7 4 ringrz 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) = .0. )
66 9 27 65 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) = .0. )
67 66 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( .0. ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) ) = ( .0. ( -g ` R ) .0. ) )
68 3 4 grpidcl 
 |-  ( R e. Grp -> .0. e. K )
69 3 4 34 grpsubid 
 |-  ( ( R e. Grp /\ .0. e. K ) -> ( .0. ( -g ` R ) .0. ) = .0. )
70 18 68 69 syl2anc2 
 |-  ( ph -> ( .0. ( -g ` R ) .0. ) = .0. )
71 67 70 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( .0. ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) ) = .0. )
72 71 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( .0. ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) ) = .0. )
73 47 64 72 3eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = .0. )
74 73 3expia 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) -> ( ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = .0. ) )
75 74 ralrimivvva 
 |-  ( ph -> A. b e. B A. c e. N A. d e. N ( ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = .0. ) )
76 simp1 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ph )
77 simp2ll 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> b e. B )
78 simp2lr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> c e. B )
79 simp2rl 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> d e. B )
80 simp2rr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> e e. N )
81 simp31 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) )
82 simp32 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
83 simp33 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
84 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 mdetunilem3 
 |-  ( ( ( ph /\ b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N /\ ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) ) /\ ( ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( D ` b ) = ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) )
85 76 77 78 79 80 81 82 83 84 syl332anc 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( D ` b ) = ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) )
86 15 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> R e. CRing )
87 14 1 2 6 86 77 78 79 80 81 82 83 mdetrlin 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( E ` b ) = ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) )
88 87 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) )
89 85 88 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) = ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) ) )
90 simprll 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> b e. B )
91 90 45 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
92 91 3adant3 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
93 simprlr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> c e. B )
94 fveq2 
 |-  ( a = c -> ( D ` a ) = ( D ` c ) )
95 fveq2 
 |-  ( a = c -> ( E ` a ) = ( E ` c ) )
96 95 oveq2d 
 |-  ( a = c -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) )
97 94 96 oveq12d 
 |-  ( a = c -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) )
98 ovex 
 |-  ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) e. _V
99 97 43 98 fvmpt 
 |-  ( c e. B -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) = ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) )
100 93 99 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) = ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) )
101 simprrl 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> d e. B )
102 fveq2 
 |-  ( a = d -> ( D ` a ) = ( D ` d ) )
103 fveq2 
 |-  ( a = d -> ( E ` a ) = ( E ` d ) )
104 103 oveq2d 
 |-  ( a = d -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) )
105 102 104 oveq12d 
 |-  ( a = d -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
106 ovex 
 |-  ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) e. _V
107 105 43 106 fvmpt 
 |-  ( d e. B -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) = ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
108 101 107 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) = ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
109 100 108 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) .+ ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) )
110 ringabl 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Abel )
111 9 110 syl 
 |-  ( ph -> R e. Abel )
112 111 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> R e. Abel )
113 10 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> D : B --> K )
114 113 93 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( D ` c ) e. K )
115 113 101 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( D ` d ) e. K )
116 9 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> R e. Ring )
117 27 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K )
118 30 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> E : B --> K )
119 118 93 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( E ` c ) e. K )
120 3 7 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` c ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) e. K )
121 116 117 119 120 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) e. K )
122 118 101 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( E ` d ) e. K )
123 3 7 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` d ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) e. K )
124 116 117 122 123 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) e. K )
125 3 6 34 ablsub4 
 |-  ( ( R e. Abel /\ ( ( D ` c ) e. K /\ ( D ` d ) e. K ) /\ ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) e. K /\ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) e. K ) ) -> ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) = ( ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) .+ ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) )
126 112 114 115 121 124 125 syl122anc 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) = ( ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) .+ ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) )
127 3 6 7 ringdi 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` c ) e. K /\ ( E ` d ) e. K ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) = ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
128 116 117 119 122 127 syl13anc 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) = ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
129 128 eqcomd 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) )
130 129 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) = ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) ) )
131 109 126 130 3eqtr2d 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) ) )
132 131 3adant3 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) ) )
133 89 92 132 3eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) )
134 133 3expia 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
135 134 anassrs 
 |-  ( ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
136 135 ralrimivva 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
137 136 ralrimivva 
 |-  ( ph -> A. b e. B A. c e. B A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
138 simp1 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ph )
139 simp2ll 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> b e. B )
140 simp2lr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> c e. K )
141 simp2rl 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> d e. B )
142 simp2rr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> e e. N )
143 simp3l 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) )
144 simp3r 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
145 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 mdetunilem4 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. K /\ d e. B ) /\ ( e e. N /\ ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( D ` b ) = ( c .x. ( D ` d ) ) )
146 138 139 140 141 142 143 144 145 syl133anc 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( D ` b ) = ( c .x. ( D ` d ) ) )
147 15 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> R e. CRing )
148 14 1 2 3 7 147 139 140 141 142 143 144 mdetrsca 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( E ` b ) = ( c .x. ( E ` d ) ) )
149 148 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) )
150 146 149 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) = ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) ) )
151 simprll 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> b e. B )
152 151 45 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
153 152 3adant3 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
154 simprrl 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> d e. B )
155 154 107 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) = ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
156 155 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( c .x. ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) )
157 9 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> R e. Ring )
158 simprlr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> c e. K )
159 10 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> D : B --> K )
160 159 154 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( D ` d ) e. K )
161 27 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K )
162 30 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> E : B --> K )
163 162 154 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( E ` d ) e. K )
164 157 161 163 123 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) e. K )
165 3 7 34 157 158 160 164 ringsubdi 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( c .x. ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) = ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( c .x. ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) )
166 eqid 
 |-  ( mulGrp ` R ) = ( mulGrp ` R )
167 166 crngmgp 
 |-  ( R e. CRing -> ( mulGrp ` R ) e. CMnd )
168 15 167 syl 
 |-  ( ph -> ( mulGrp ` R ) e. CMnd )
169 168 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( mulGrp ` R ) e. CMnd )
170 166 3 mgpbas 
 |-  K = ( Base ` ( mulGrp ` R ) )
171 166 7 mgpplusg 
 |-  .x. = ( +g ` ( mulGrp ` R ) )
172 170 171 cmn12 
 |-  ( ( ( mulGrp ` R ) e. CMnd /\ ( c e. K /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` d ) e. K ) ) -> ( c .x. ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) )
173 169 158 161 163 172 syl13anc 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( c .x. ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) )
174 173 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( c .x. ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) = ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) ) )
175 156 165 174 3eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) ) )
176 175 3adant3 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) ) )
177 150 153 176 3eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) )
178 177 3expia 
 |-  ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
179 178 anassrs 
 |-  ( ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. K ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
180 179 ralrimivva 
 |-  ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. K ) ) -> A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
181 180 ralrimivva 
 |-  ( ph -> A. b e. B A. c e. K A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
182 eqidd 
 |-  ( ph -> ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) = ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) )
183 fveq2 
 |-  ( a = ( 1r ` A ) -> ( D ` a ) = ( D ` ( 1r ` A ) ) )
184 fveq2 
 |-  ( a = ( 1r ` A ) -> ( E ` a ) = ( E ` ( 1r ` A ) ) )
185 184 oveq2d 
 |-  ( a = ( 1r ` A ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) )
186 183 185 oveq12d 
 |-  ( a = ( 1r ` A ) -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) ) )
187 14 1 24 5 mdet1 
 |-  ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( E ` ( 1r ` A ) ) = .1. )
188 15 8 187 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( E ` ( 1r ` A ) ) = .1. )
189 188 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .1. ) )
190 3 7 5 ringridm 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .1. ) = ( D ` ( 1r ` A ) ) )
191 9 27 190 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .1. ) = ( D ` ( 1r ` A ) ) )
192 189 191 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) = ( D ` ( 1r ` A ) ) )
193 192 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( D ` ( 1r ` A ) ) ) )
194 3 4 34 grpsubid 
 |-  ( ( R e. Grp /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( D ` ( 1r ` A ) ) ) = .0. )
195 18 27 194 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( D ` ( 1r ` A ) ) ) = .0. )
196 193 195 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) ) = .0. )
197 186 196 sylan9eqr 
 |-  ( ( ph /\ a = ( 1r ` A ) ) -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = .0. )
198 4 fvexi 
 |-  .0. e. _V
199 198 a1i 
 |-  ( ph -> .0. e. _V )
200 182 197 26 199 fvmptd 
 |-  ( ph -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` ( 1r ` A ) ) = .0. )
201 eqid 
 |-  { b | A. c e. B A. d e. ( N ^m N ) ( A. e e. b ( c ` e ) = if ( e e. d , .1. , .0. ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) = .0. ) } = { b | A. c e. B A. d e. ( N ^m N ) ( A. e e. b ( c ` e ) = if ( e e. d , .1. , .0. ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) = .0. ) }
202 1 2 3 4 5 6 7 8 9 37 75 137 181 200 201 mdetunilem9 
 |-  ( ph -> ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) = ( B X. { .0. } ) )
203 202 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` F ) = ( ( B X. { .0. } ) ` F ) )
204 fveq2 
 |-  ( a = F -> ( D ` a ) = ( D ` F ) )
205 fveq2 
 |-  ( a = F -> ( E ` a ) = ( E ` F ) )
206 205 oveq2d 
 |-  ( a = F -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) )
207 204 206 oveq12d 
 |-  ( a = F -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) )
208 207 adantl 
 |-  ( ( ph /\ a = F ) -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) )
209 ovexd 
 |-  ( ph -> ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) e. _V )
210 182 208 16 209 fvmptd 
 |-  ( ph -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` F ) = ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) )
211 198 fvconst2 
 |-  ( F e. B -> ( ( B X. { .0. } ) ` F ) = .0. )
212 16 211 syl 
 |-  ( ph -> ( ( B X. { .0. } ) ` F ) = .0. )
213 203 210 212 3eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) = .0. )
214 10 16 ffvelcdmd 
 |-  ( ph -> ( D ` F ) e. K )
215 30 16 ffvelcdmd 
 |-  ( ph -> ( E ` F ) e. K )
216 3 7 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` F ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) e. K )
217 9 27 215 216 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) e. K )
218 3 4 34 grpsubeq0 
 |-  ( ( R e. Grp /\ ( D ` F ) e. K /\ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) e. K ) -> ( ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) = .0. <-> ( D ` F ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) )
219 18 214 217 218 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) = .0. <-> ( D ` F ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) )
220 213 219 mpbid 
 |-  ( ph -> ( D ` F ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) )