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Theorem merco1lem17

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 . (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion merco1lem17 
|- ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ta ) -> ( ( ph -> ch ) -> ta ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 merco1lem11 
 |-  ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) )
2 merco1lem7 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) -> F. ) ) -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) )
3 merco1 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) -> F. ) ) -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) -> ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) ) )
4 2 3 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) -> ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) )
5 merco1lem9 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) -> ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) ) -> ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) )
6 4 5 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ph ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) ) -> ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) )
7 1 6 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph )
8 merco1 
 |-  ( ( ( ( ( ch -> ph ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> F. ) ) -> F. ) -> ph ) -> ( ( ph -> ch ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) ) )
9 7 8 ax-mp 
 |-  ( ( ph -> ch ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) )
10 merco1lem11 
 |-  ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) )
11 merco1lem7 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> F. ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) )
12 merco1 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> F. ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
13 11 12 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) )
14 merco1lem9 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) )
15 13 14 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) )
16 10 15 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) )
17 merco1 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ph -> ch ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) ) ) )
18 16 17 ax-mp 
 |-  ( ( ( ph -> ch ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) ) )
19 9 18 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) )
20 merco1lem4 
 |-  ( ( ( ( ta -> ph ) -> ( ( ph -> ch ) -> F. ) ) -> ch ) -> ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ch ) )
21 merco1lem16 
 |-  ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) ) -> ( ( ( ( ph -> ch ) -> F. ) -> ch ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) ) )
22 19 20 21 mpsyl 
 |-  ( ( ( ( ta -> ph ) -> ( ( ph -> ch ) -> F. ) ) -> ch ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) )
23 merco1 
 |-  ( ( ( ( ( ta -> ph ) -> ( ( ph -> ch ) -> F. ) ) -> ch ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ta ) -> ( ( ph -> ch ) -> ta ) ) )
24 22 23 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ph ) -> ch ) -> ta ) -> ( ( ph -> ch ) -> ta ) )