Metamath Proof Explorer

Theorem mhpmulcl

Description: A product of homogeneous polynomials is a homogeneous polynomial whose degree is the sum of the degrees of the factors. Compare mdegmulle2 (which shows less-than-or-equal instead of equal). (Contributed by SN, 22-Jul-2024) Remove sethood hypothesis. (Revised by SN, 18-May-2025)

Ref Expression
Hypotheses mhpmulcl.h 
|- H = ( I mHomP R )
mhpmulcl.y 
|- Y = ( I mPoly R )
mhpmulcl.t 
|- .x. = ( .r ` Y )
mhpmulcl.r 
|- ( ph -> R e. Ring )
mhpmulcl.m 
|- ( ph -> M e. NN0 )
mhpmulcl.n 
|- ( ph -> N e. NN0 )
mhpmulcl.p 
|- ( ph -> P e. ( H ` M ) )
mhpmulcl.q 
|- ( ph -> Q e. ( H ` N ) )
Assertion mhpmulcl 
|- ( ph -> ( P .x. Q ) e. ( H ` ( M + N ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mhpmulcl.h 
 |-  H = ( I mHomP R )
2 mhpmulcl.y 
 |-  Y = ( I mPoly R )
3 mhpmulcl.t 
 |-  .x. = ( .r ` Y )
4 mhpmulcl.r 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
5 mhpmulcl.m 
 |-  ( ph -> M e. NN0 )
6 mhpmulcl.n 
 |-  ( ph -> N e. NN0 )
7 mhpmulcl.p 
 |-  ( ph -> P e. ( H ` M ) )
8 mhpmulcl.q 
 |-  ( ph -> Q e. ( H ` N ) )
9 eqid 
 |-  ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
10 eqid 
 |-  ( .r ` R ) = ( .r ` R )
11 eqid 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
12 reldmmhp 
 |-  Rel dom mHomP
13 12 1 7 elfvov1 
 |-  ( ph -> I e. _V )
14 1 2 9 13 4 5 7 mhpmpl 
 |-  ( ph -> P e. ( Base ` Y ) )
15 1 2 9 13 4 6 8 mhpmpl 
 |-  ( ph -> Q e. ( Base ` Y ) )
16 2 9 10 3 11 14 15 mplmul 
 |-  ( ph -> ( P .x. Q ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ d } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( d oF - e ) ) ) ) ) ) )
17 16 adantr 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( P .x. Q ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ d } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( d oF - e ) ) ) ) ) ) )
18 breq2 
 |-  ( d = x -> ( c oR <_ d <-> c oR <_ x ) )
19 18 rabbidv 
 |-  ( d = x -> { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ d } = { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } )
20 fvoveq1 
 |-  ( d = x -> ( Q ` ( d oF - e ) ) = ( Q ` ( x oF - e ) ) )
21 20 oveq2d 
 |-  ( d = x -> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( d oF - e ) ) ) = ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) )
22 19 21 mpteq12dv 
 |-  ( d = x -> ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ d } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( d oF - e ) ) ) ) = ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) ) )
23 22 oveq2d 
 |-  ( d = x -> ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ d } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( d oF - e ) ) ) ) ) = ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) ) ) )
24 23 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ d = x ) -> ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ d } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( d oF - e ) ) ) ) ) = ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) ) ) )
25 simpr 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
26 ovexd 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) ) ) e. _V )
27 17 24 25 26 fvmptd 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( P .x. Q ) ` x ) = ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) ) ) )
28 27 neeq1d 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( P .x. Q ) ` x ) =/= ( 0g ` R ) <-> ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) )
29 simp-4l 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> ph )
30 oveq2 
 |-  ( c = e -> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) )
31 30 eqeq1d 
 |-  ( c = e -> ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = M <-> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) = M ) )
32 31 necon3bbid 
 |-  ( c = e -> ( -. ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = M <-> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) )
33 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } )
34 elrabi 
 |-  ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } -> e e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
35 33 34 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> e e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
36 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M )
37 32 35 36 elrabd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | -. ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = M } )
38 notrab 
 |-  ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } \ { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = M } ) = { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | -. ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = M }
39 37 38 eleqtrrdi 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> e e. ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } \ { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = M } ) )
40 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
41 2 40 9 11 14 mplelf 
 |-  ( ph -> P : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
42 eqid 
 |-  ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
43 1 42 11 13 4 5 7 mhpdeg 
 |-  ( ph -> ( P supp ( 0g ` R ) ) C_ { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = M } )
44 ovex 
 |-  ( NN0 ^m I ) e. _V
45 44 rabex 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V
46 45 a1i 
 |-  ( ph -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V )
47 fvexd 
 |-  ( ph -> ( 0g ` R ) e. _V )
48 41 43 46 47 suppssr 
 |-  ( ( ph /\ e e. ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } \ { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = M } ) ) -> ( P ` e ) = ( 0g ` R ) )
49 29 39 48 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> ( P ` e ) = ( 0g ` R ) )
50 49 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) = ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) )
51 4 ad4antr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> R e. Ring )
52 15 ad4antr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> Q e. ( Base ` Y ) )
53 2 40 9 11 52 mplelf 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> Q : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
54 simp-4r 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
55 eqid 
 |-  { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } = { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x }
56 11 55 psrbagconcl 
 |-  ( ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( x oF - e ) e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } )
57 54 33 56 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> ( x oF - e ) e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } )
58 elrabi 
 |-  ( ( x oF - e ) e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } -> ( x oF - e ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
59 57 58 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> ( x oF - e ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
60 53 59 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> ( Q ` ( x oF - e ) ) e. ( Base ` R ) )
61 40 10 42 ringlz 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( Q ` ( x oF - e ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) = ( 0g ` R ) )
62 51 60 61 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) = ( 0g ` R ) )
63 50 62 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M ) -> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) = ( 0g ` R ) )
64 simp-4l 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> ph )
65 oveq2 
 |-  ( c = ( x oF - e ) -> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) )
66 65 eqeq1d 
 |-  ( c = ( x oF - e ) -> ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = N <-> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) = N ) )
67 66 necon3bbid 
 |-  ( c = ( x oF - e ) -> ( -. ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = N <-> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) )
68 simp-4r 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
69 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } )
70 68 69 56 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> ( x oF - e ) e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } )
71 70 58 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> ( x oF - e ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
72 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N )
73 67 71 72 elrabd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> ( x oF - e ) e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | -. ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = N } )
74 notrab 
 |-  ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } \ { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = N } ) = { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | -. ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = N }
75 73 74 eleqtrrdi 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> ( x oF - e ) e. ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } \ { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = N } ) )
76 2 40 9 11 15 mplelf 
 |-  ( ph -> Q : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
77 1 42 11 13 4 6 8 mhpdeg 
 |-  ( ph -> ( Q supp ( 0g ` R ) ) C_ { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = N } )
78 76 77 46 47 suppssr 
 |-  ( ( ph /\ ( x oF - e ) e. ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } \ { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum c ) = N } ) ) -> ( Q ` ( x oF - e ) ) = ( 0g ` R ) )
79 64 75 78 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> ( Q ` ( x oF - e ) ) = ( 0g ` R ) )
80 79 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) = ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) )
81 4 ad4antr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> R e. Ring )
82 14 ad4antr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> P e. ( Base ` Y ) )
83 2 40 9 11 82 mplelf 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> P : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
84 34 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> e e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
85 84 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> e e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
86 83 85 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> ( P ` e ) e. ( Base ` R ) )
87 40 10 42 ringrz 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( P ` e ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
88 81 86 87 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
89 80 88 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) -> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) = ( 0g ` R ) )
90 nn0subm 
 |-  NN0 e. ( SubMnd ` CCfld )
91 eqid 
 |-  ( CCfld |`s NN0 ) = ( CCfld |`s NN0 )
92 91 submbas 
 |-  ( NN0 e. ( SubMnd ` CCfld ) -> NN0 = ( Base ` ( CCfld |`s NN0 ) ) )
93 90 92 ax-mp 
 |-  NN0 = ( Base ` ( CCfld |`s NN0 ) )
94 cnfld0 
 |-  0 = ( 0g ` CCfld )
95 91 94 subm0 
 |-  ( NN0 e. ( SubMnd ` CCfld ) -> 0 = ( 0g ` ( CCfld |`s NN0 ) ) )
96 90 95 ax-mp 
 |-  0 = ( 0g ` ( CCfld |`s NN0 ) )
97 nn0ex 
 |-  NN0 e. _V
98 cnfldadd 
 |-  + = ( +g ` CCfld )
99 91 98 ressplusg 
 |-  ( NN0 e. _V -> + = ( +g ` ( CCfld |`s NN0 ) ) )
100 97 99 ax-mp 
 |-  + = ( +g ` ( CCfld |`s NN0 ) )
101 cnring 
 |-  CCfld e. Ring
102 ringcmn 
 |-  ( CCfld e. Ring -> CCfld e. CMnd )
103 101 102 ax-mp 
 |-  CCfld e. CMnd
104 91 submcmn 
 |-  ( ( CCfld e. CMnd /\ NN0 e. ( SubMnd ` CCfld ) ) -> ( CCfld |`s NN0 ) e. CMnd )
105 103 90 104 mp2an 
 |-  ( CCfld |`s NN0 ) e. CMnd
106 105 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( CCfld |`s NN0 ) e. CMnd )
107 13 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> I e. _V )
108 11 psrbagf 
 |-  ( e e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> e : I --> NN0 )
109 84 108 syl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> e : I --> NN0 )
110 simpllr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
111 11 psrbagf 
 |-  ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> x : I --> NN0 )
112 110 111 syl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> x : I --> NN0 )
113 112 ffnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> x Fn I )
114 109 ffnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> e Fn I )
115 inidm 
 |-  ( I i^i I ) = I
116 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ i e. I ) -> ( x ` i ) = ( x ` i ) )
117 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ i e. I ) -> ( e ` i ) = ( e ` i ) )
118 113 114 107 107 115 116 117 offval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( x oF - e ) = ( i e. I |-> ( ( x ` i ) - ( e ` i ) ) ) )
119 simpl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) )
120 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ i e. I ) -> e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } )
121 breq1 
 |-  ( c = e -> ( c oR <_ x <-> e oR <_ x ) )
122 121 elrab 
 |-  ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } <-> ( e e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ e oR <_ x ) )
123 122 simprbi 
 |-  ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } -> e oR <_ x )
124 120 123 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ i e. I ) -> e oR <_ x )
125 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ i e. I ) -> i e. I )
126 114 113 107 107 115 117 116 ofrval 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ e oR <_ x /\ i e. I ) -> ( e ` i ) <_ ( x ` i ) )
127 119 124 125 126 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ i e. I ) -> ( e ` i ) <_ ( x ` i ) )
128 109 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ i e. I ) -> ( e ` i ) e. NN0 )
129 112 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ i e. I ) -> ( x ` i ) e. NN0 )
130 nn0sub 
 |-  ( ( ( e ` i ) e. NN0 /\ ( x ` i ) e. NN0 ) -> ( ( e ` i ) <_ ( x ` i ) <-> ( ( x ` i ) - ( e ` i ) ) e. NN0 ) )
131 128 129 130 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ i e. I ) -> ( ( e ` i ) <_ ( x ` i ) <-> ( ( x ` i ) - ( e ` i ) ) e. NN0 ) )
132 127 131 mpbid 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ i e. I ) -> ( ( x ` i ) - ( e ` i ) ) e. NN0 )
133 118 132 fmpt3d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( x oF - e ) : I --> NN0 )
134 109 ffund 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> Fun e )
135 c0ex 
 |-  0 e. _V
136 107 135 jctir 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( I e. _V /\ 0 e. _V ) )
137 fsuppeq 
 |-  ( ( I e. _V /\ 0 e. _V ) -> ( e : I --> NN0 -> ( e supp 0 ) = ( `' e " ( NN0 \ { 0 } ) ) ) )
138 136 109 137 sylc 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( e supp 0 ) = ( `' e " ( NN0 \ { 0 } ) ) )
139 dfn2 
 |-  NN = ( NN0 \ { 0 } )
140 139 imaeq2i 
 |-  ( `' e " NN ) = ( `' e " ( NN0 \ { 0 } ) )
141 138 140 eqtr4di 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( e supp 0 ) = ( `' e " NN ) )
142 11 psrbag 
 |-  ( I e. _V -> ( e e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } <-> ( e : I --> NN0 /\ ( `' e " NN ) e. Fin ) ) )
143 107 142 syl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( e e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } <-> ( e : I --> NN0 /\ ( `' e " NN ) e. Fin ) ) )
144 84 143 mpbid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( e : I --> NN0 /\ ( `' e " NN ) e. Fin ) )
145 144 simprd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( `' e " NN ) e. Fin )
146 141 145 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( e supp 0 ) e. Fin )
147 84 elexd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> e e. _V )
148 isfsupp 
 |-  ( ( e e. _V /\ 0 e. _V ) -> ( e finSupp 0 <-> ( Fun e /\ ( e supp 0 ) e. Fin ) ) )
149 147 135 148 sylancl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( e finSupp 0 <-> ( Fun e /\ ( e supp 0 ) e. Fin ) ) )
150 134 146 149 mpbir2and 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> e finSupp 0 )
151 113 114 107 107 offun 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> Fun ( x oF - e ) )
152 11 psrbagfsupp 
 |-  ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> x finSupp 0 )
153 110 152 syl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> x finSupp 0 )
154 153 150 fsuppunfi 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( x supp 0 ) u. ( e supp 0 ) ) e. Fin )
155 0nn0 
 |-  0 e. NN0
156 155 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> 0 e. NN0 )
157 0m0e0 
 |-  ( 0 - 0 ) = 0
158 157 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( 0 - 0 ) = 0 )
159 107 156 112 109 158 suppofssd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( x oF - e ) supp 0 ) C_ ( ( x supp 0 ) u. ( e supp 0 ) ) )
160 154 159 ssfid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( x oF - e ) supp 0 ) e. Fin )
161 ovexd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( x oF - e ) e. _V )
162 isfsupp 
 |-  ( ( ( x oF - e ) e. _V /\ 0 e. _V ) -> ( ( x oF - e ) finSupp 0 <-> ( Fun ( x oF - e ) /\ ( ( x oF - e ) supp 0 ) e. Fin ) ) )
163 161 135 162 sylancl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( x oF - e ) finSupp 0 <-> ( Fun ( x oF - e ) /\ ( ( x oF - e ) supp 0 ) e. Fin ) ) )
164 151 160 163 mpbir2and 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( x oF - e ) finSupp 0 )
165 93 96 100 106 107 109 133 150 164 gsumadd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( e oF + ( x oF - e ) ) ) = ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) + ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) ) )
166 109 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ b e. I ) -> ( e ` b ) e. NN0 )
167 166 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ b e. I ) -> ( e ` b ) e. CC )
168 112 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ b e. I ) -> ( x ` b ) e. NN0 )
169 168 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ b e. I ) -> ( x ` b ) e. CC )
170 167 169 pncan3d 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ b e. I ) -> ( ( e ` b ) + ( ( x ` b ) - ( e ` b ) ) ) = ( x ` b ) )
171 170 mpteq2dva 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( b e. I |-> ( ( e ` b ) + ( ( x ` b ) - ( e ` b ) ) ) ) = ( b e. I |-> ( x ` b ) ) )
172 fvexd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ b e. I ) -> ( e ` b ) e. _V )
173 ovexd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) /\ b e. I ) -> ( ( x ` b ) - ( e ` b ) ) e. _V )
174 109 feqmptd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> e = ( b e. I |-> ( e ` b ) ) )
175 112 feqmptd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> x = ( b e. I |-> ( x ` b ) ) )
176 107 168 166 175 174 offval2 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( x oF - e ) = ( b e. I |-> ( ( x ` b ) - ( e ` b ) ) ) )
177 107 172 173 174 176 offval2 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( e oF + ( x oF - e ) ) = ( b e. I |-> ( ( e ` b ) + ( ( x ` b ) - ( e ` b ) ) ) ) )
178 171 177 175 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( e oF + ( x oF - e ) ) = x )
179 178 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( e oF + ( x oF - e ) ) ) = ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) )
180 165 179 eqtr3d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) + ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) ) = ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) )
181 simplr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) )
182 180 181 eqnetrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) + ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) ) =/= ( M + N ) )
183 oveq12 
 |-  ( ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) = M /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) = N ) -> ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) + ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) ) = ( M + N ) )
184 183 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) = M /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) = N ) -> ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) + ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) ) = ( M + N ) ) )
185 184 necon3ad 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) + ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) ) =/= ( M + N ) -> -. ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) = M /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) = N ) ) )
186 182 185 mpd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> -. ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) = M /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) = N ) )
187 neorian 
 |-  ( ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M \/ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) <-> -. ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) = M /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) = N ) )
188 186 187 sylibr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum e ) =/= M \/ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum ( x oF - e ) ) =/= N ) )
189 63 89 188 mpjaodan 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) /\ e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } ) -> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) = ( 0g ` R ) )
190 189 mpteq2dva 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) -> ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) ) = ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( 0g ` R ) ) )
191 190 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) -> ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) ) ) = ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( 0g ` R ) ) ) )
192 ringmnd 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Mnd )
193 4 192 syl 
 |-  ( ph -> R e. Mnd )
194 193 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) -> R e. Mnd )
195 45 rabex 
 |-  { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } e. _V
196 42 gsumz 
 |-  ( ( R e. Mnd /\ { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } e. _V ) -> ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
197 194 195 196 sylancl 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) -> ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
198 191 197 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) ) -> ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
199 198 ex 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) =/= ( M + N ) -> ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
200 199 necon1d 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( R gsum ( e e. { c e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | c oR <_ x } |-> ( ( P ` e ) ( .r ` R ) ( Q ` ( x oF - e ) ) ) ) ) =/= ( 0g ` R ) -> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) = ( M + N ) ) )
201 28 200 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( P .x. Q ) ` x ) =/= ( 0g ` R ) -> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) = ( M + N ) ) )
202 201 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ( ( ( P .x. Q ) ` x ) =/= ( 0g ` R ) -> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) = ( M + N ) ) )
203 5 6 nn0addcld 
 |-  ( ph -> ( M + N ) e. NN0 )
204 2 mplring 
 |-  ( ( I e. _V /\ R e. Ring ) -> Y e. Ring )
205 13 4 204 syl2anc 
 |-  ( ph -> Y e. Ring )
206 9 3 ringcl 
 |-  ( ( Y e. Ring /\ P e. ( Base ` Y ) /\ Q e. ( Base ` Y ) ) -> ( P .x. Q ) e. ( Base ` Y ) )
207 205 14 15 206 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( P .x. Q ) e. ( Base ` Y ) )
208 1 2 9 42 11 13 4 203 207 ismhp3 
 |-  ( ph -> ( ( P .x. Q ) e. ( H ` ( M + N ) ) <-> A. x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ( ( ( P .x. Q ) ` x ) =/= ( 0g ` R ) -> ( ( CCfld |`s NN0 ) gsum x ) = ( M + N ) ) ) )
209 202 208 mpbird 
 |-  ( ph -> ( P .x. Q ) e. ( H ` ( M + N ) ) )