Theorem mnd12g

Description: Commutative/associative law for monoids, with an explicit commutativity hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016)

	Ref	Expression
Hypotheses	mndcl.b	|- B = ( Base ` G )
	mndcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
	mnd4g.1	|- ( ph -> G e. Mnd )
	mnd4g.2	|- ( ph -> X e. B )
	mnd4g.3	|- ( ph -> Y e. B )
	mnd4g.4	|- ( ph -> Z e. B )
	mnd12g.5	|- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
Assertion	mnd12g	|- ( ph -> ( X .+ ( Y .+ Z ) ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndcl.b	|- B = ( Base ` G )
2		mndcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
3		mnd4g.1	|- ( ph -> G e. Mnd )
4		mnd4g.2	|- ( ph -> X e. B )
5		mnd4g.3	|- ( ph -> Y e. B )
6		mnd4g.4	|- ( ph -> Z e. B )
7		mnd12g.5	|- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
8	7	oveq1d	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( Y .+ X ) .+ Z ) )
9	1 2	mndass	|- ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
10	3 4 5 6 9	syl13anc	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
11	1 2	mndass	|- ( ( G e. Mnd /\ ( Y e. B /\ X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .+ Z ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
12	3 5 4 6 11	syl13anc	|- ( ph -> ( ( Y .+ X ) .+ Z ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
13	8 10 12	3eqtr3d	|- ( ph -> ( X .+ ( Y .+ Z ) ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )