Theorem mnd4g

Description: Commutative/associative law for commutative monoids, with an explicit commutativity hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016)

	Ref	Expression
Hypotheses	mndcl.b	|- B = ( Base ` G )
	mndcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
	mnd4g.1	|- ( ph -> G e. Mnd )
	mnd4g.2	|- ( ph -> X e. B )
	mnd4g.3	|- ( ph -> Y e. B )
	mnd4g.4	|- ( ph -> Z e. B )
	mnd4g.5	|- ( ph -> W e. B )
	mnd4g.6	|- ( ph -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
Assertion	mnd4g	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndcl.b	|- B = ( Base ` G )
2		mndcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
3		mnd4g.1	|- ( ph -> G e. Mnd )
4		mnd4g.2	|- ( ph -> X e. B )
5		mnd4g.3	|- ( ph -> Y e. B )
6		mnd4g.4	|- ( ph -> Z e. B )
7		mnd4g.5	|- ( ph -> W e. B )
8		mnd4g.6	|- ( ph -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
9	1 2 3 5 6 7 8	mnd12g	|- ( ph -> ( Y .+ ( Z .+ W ) ) = ( Z .+ ( Y .+ W ) ) )
10	9	oveq2d	|- ( ph -> ( X .+ ( Y .+ ( Z .+ W ) ) ) = ( X .+ ( Z .+ ( Y .+ W ) ) ) )
11	1 2	mndcl	|- ( ( G e. Mnd /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( Z .+ W ) e. B )
12	3 6 7 11	syl3anc	|- ( ph -> ( Z .+ W ) e. B )
13	1 2	mndass	|- ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Z .+ W ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( Z .+ W ) ) ) )
14	3 4 5 12 13	syl13anc	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( Z .+ W ) ) ) )
15	1 2	mndcl	|- ( ( G e. Mnd /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y .+ W ) e. B )
16	3 5 7 15	syl3anc	|- ( ph -> ( Y .+ W ) e. B )
17	1 2	mndass	|- ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ ( Y .+ W ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) = ( X .+ ( Z .+ ( Y .+ W ) ) ) )
18	3 4 6 16 17	syl13anc	|- ( ph -> ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) = ( X .+ ( Z .+ ( Y .+ W ) ) ) )
19	10 14 18	3eqtr4d	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )