Theorem moel

Description: "At most one" element in a set. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jul-2018) Avoid ax-11 . (Revised by Wolf Lammen, 23-Nov-2024)

	Ref	Expression
Assertion	moel	|- ( E* x x e. A <-> A. x e. A A. y e. A x = y )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.21v	|- ( A. y ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. A -> x = y ) ) )
2		impexp	|- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) )
3	2	albii	|- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) )
4		df-ral	|- ( A. y e. A x = y <-> A. y ( y e. A -> x = y ) )
5	4	imbi2i	|- ( ( x e. A -> A. y e. A x = y ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. A -> x = y ) ) )
6	1 3 5	3bitr4i	|- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A x = y ) )
7	6	albii	|- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A x = y ) )
8		eleq1w	|- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
9	8	mo4	|- ( E* x x e. A <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
10		df-ral	|- ( A. x e. A A. y e. A x = y <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A x = y ) )
11	7 9 10	3bitr4i	|- ( E* x x e. A <-> A. x e. A A. y e. A x = y )