Theorem mopnex

Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015)

	Ref	Expression
Hypothesis	mopnex.1	|- J = ( MetOpen ` D )
Assertion	mopnex	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnex.1	|- J = ( MetOpen ` D )
2		1rp	|- 1 e. RR+
3		eqid	|- ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) )
4	3	stdbdmet	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
5	2 4	mpan2	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
6		1xr	|- 1 e. RR*
7		0lt1	|- 0 < 1
8	3 1	stdbdmopn	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) )
9	6 7 8	mp3an23	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) )
10		fveq2	|- ( d = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) -> ( MetOpen ` d ) = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) )
11	10	rspceeqv	|- ( ( ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )
12	5 9 11	syl2anc	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )