Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mplcoe1.p |
|- P = ( I mPoly R ) |
2 |
|
mplcoe1.d |
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |
3 |
|
mplcoe1.z |
|- .0. = ( 0g ` R ) |
4 |
|
mplcoe1.o |
|- .1. = ( 1r ` R ) |
5 |
|
mplcoe1.i |
|- ( ph -> I e. W ) |
6 |
|
mplcoe2.g |
|- G = ( mulGrp ` P ) |
7 |
|
mplcoe2.m |
|- .^ = ( .g ` G ) |
8 |
|
mplcoe2.v |
|- V = ( I mVar R ) |
9 |
|
mplcoe5.r |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
10 |
|
mplcoe5.y |
|- ( ph -> Y e. D ) |
11 |
|
mplcoe5.c |
|- ( ph -> A. x e. I A. y e. I ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) ) |
12 |
|
mplcoe5.s |
|- ( ph -> S C_ I ) |
13 |
|
vex |
|- x e. _V |
14 |
|
eqid |
|- ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) = ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) |
15 |
14
|
elrnmpt |
|- ( x e. _V -> ( x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) <-> E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) |
16 |
13 15
|
mp1i |
|- ( ph -> ( x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) <-> E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) |
17 |
|
vex |
|- y e. _V |
18 |
14
|
elrnmpt |
|- ( y e. _V -> ( y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) <-> E. k e. S y = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) |
19 |
17 18
|
mp1i |
|- ( ph -> ( y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) <-> E. k e. S y = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) |
20 |
|
fveq2 |
|- ( k = l -> ( Y ` k ) = ( Y ` l ) ) |
21 |
|
fveq2 |
|- ( k = l -> ( V ` k ) = ( V ` l ) ) |
22 |
20 21
|
oveq12d |
|- ( k = l -> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) |
23 |
22
|
eqeq2d |
|- ( k = l -> ( y = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) <-> y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) ) |
24 |
23
|
cbvrexvw |
|- ( E. k e. S y = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) <-> E. l e. S y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) |
25 |
|
eqid |
|- ( Base ` P ) = ( Base ` P ) |
26 |
|
eqid |
|- ( .r ` P ) = ( .r ` P ) |
27 |
6 26
|
mgpplusg |
|- ( .r ` P ) = ( +g ` G ) |
28 |
27
|
eqcomi |
|- ( +g ` G ) = ( .r ` P ) |
29 |
1
|
mplring |
|- ( ( I e. W /\ R e. Ring ) -> P e. Ring ) |
30 |
5 9 29
|
syl2anc |
|- ( ph -> P e. Ring ) |
31 |
|
ringsrg |
|- ( P e. Ring -> P e. SRing ) |
32 |
30 31
|
syl |
|- ( ph -> P e. SRing ) |
33 |
32
|
adantr |
|- ( ( ph /\ l e. S ) -> P e. SRing ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> P e. SRing ) |
35 |
6 25
|
mgpbas |
|- ( Base ` P ) = ( Base ` G ) |
36 |
6
|
ringmgp |
|- ( P e. Ring -> G e. Mnd ) |
37 |
30 36
|
syl |
|- ( ph -> G e. Mnd ) |
38 |
37
|
adantr |
|- ( ( ph /\ l e. S ) -> G e. Mnd ) |
39 |
12
|
sseld |
|- ( ph -> ( l e. S -> l e. I ) ) |
40 |
39
|
imdistani |
|- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( ph /\ l e. I ) ) |
41 |
2
|
psrbag |
|- ( I e. W -> ( Y e. D <-> ( Y : I --> NN0 /\ ( `' Y " NN ) e. Fin ) ) ) |
42 |
5 41
|
syl |
|- ( ph -> ( Y e. D <-> ( Y : I --> NN0 /\ ( `' Y " NN ) e. Fin ) ) ) |
43 |
10 42
|
mpbid |
|- ( ph -> ( Y : I --> NN0 /\ ( `' Y " NN ) e. Fin ) ) |
44 |
43
|
simpld |
|- ( ph -> Y : I --> NN0 ) |
45 |
44
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ph /\ l e. I ) -> ( Y ` l ) e. NN0 ) |
46 |
40 45
|
syl |
|- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( Y ` l ) e. NN0 ) |
47 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ l e. S ) -> I e. W ) |
48 |
9
|
adantr |
|- ( ( ph /\ l e. S ) -> R e. Ring ) |
49 |
12
|
sselda |
|- ( ( ph /\ l e. S ) -> l e. I ) |
50 |
1 8 25 47 48 49
|
mvrcl |
|- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( V ` l ) e. ( Base ` P ) ) |
51 |
35 7 38 46 50
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) e. ( Base ` P ) ) |
52 |
51
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) e. ( Base ` P ) ) |
53 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. S ) -> I e. W ) |
54 |
9
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. S ) -> R e. Ring ) |
55 |
12
|
sselda |
|- ( ( ph /\ k e. S ) -> k e. I ) |
56 |
1 8 25 53 54 55
|
mvrcl |
|- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( V ` k ) e. ( Base ` P ) ) |
57 |
56
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( V ` k ) e. ( Base ` P ) ) |
58 |
44
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( Y ` k ) e. NN0 ) |
59 |
55 58
|
syldan |
|- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( Y ` k ) e. NN0 ) |
60 |
59
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( Y ` k ) e. NN0 ) |
61 |
50
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( V ` l ) e. ( Base ` P ) ) |
62 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( Y ` l ) e. NN0 ) |
63 |
|
fveq2 |
|- ( x = l -> ( V ` x ) = ( V ` l ) ) |
64 |
63
|
oveq2d |
|- ( x = l -> ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) ) |
65 |
63
|
oveq1d |
|- ( x = l -> ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) ) |
66 |
64 65
|
eqeq12d |
|- ( x = l -> ( ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) <-> ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) ) ) |
67 |
|
fveq2 |
|- ( y = k -> ( V ` y ) = ( V ` k ) ) |
68 |
67
|
oveq1d |
|- ( y = k -> ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) ) |
69 |
67
|
oveq2d |
|- ( y = k -> ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) |
70 |
68 69
|
eqeq12d |
|- ( y = k -> ( ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) <-> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) ) |
71 |
66 70
|
rspc2v |
|- ( ( l e. I /\ k e. I ) -> ( A. x e. I A. y e. I ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) -> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) ) |
72 |
49 55
|
anim12dan |
|- ( ( ph /\ ( l e. S /\ k e. S ) ) -> ( l e. I /\ k e. I ) ) |
73 |
71 72
|
syl11 |
|- ( A. x e. I A. y e. I ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) -> ( ( ph /\ ( l e. S /\ k e. S ) ) -> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) ) |
74 |
73
|
expd |
|- ( A. x e. I A. y e. I ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) -> ( ph -> ( ( l e. S /\ k e. S ) -> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) ) ) |
75 |
11 74
|
mpcom |
|- ( ph -> ( ( l e. S /\ k e. S ) -> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) ) |
76 |
75
|
impl |
|- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) |
77 |
25 28 6 7 34 57 61 62 76
|
srgpcomp |
|- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) = ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) ) |
78 |
25 28 6 7 34 52 57 60 77
|
srgpcomp |
|- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) = ( ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) |
79 |
|
oveq12 |
|- ( ( x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) /\ y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) ) |
80 |
|
oveq12 |
|- ( ( y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) /\ x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) |
81 |
80
|
ancoms |
|- ( ( x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) /\ y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) |
82 |
79 81
|
eqeq12d |
|- ( ( x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) /\ y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) <-> ( ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) = ( ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) ) |
83 |
78 82
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( ( x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) /\ y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) |
84 |
83
|
expd |
|- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) |
85 |
84
|
rexlimdva |
|- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) |
86 |
85
|
com23 |
|- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) |
87 |
86
|
rexlimdva |
|- ( ph -> ( E. l e. S y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) |
88 |
24 87
|
biimtrid |
|- ( ph -> ( E. k e. S y = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) |
89 |
19 88
|
sylbid |
|- ( ph -> ( y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) |
90 |
89
|
com23 |
|- ( ph -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) |
91 |
16 90
|
sylbid |
|- ( ph -> ( x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) -> ( y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) |
92 |
91
|
imp32 |
|- ( ( ph /\ ( x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) /\ y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) |
93 |
92
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) A. y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) |
94 |
|
eqid |
|- ( Base ` G ) = ( Base ` G ) |
95 |
37
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. S ) -> G e. Mnd ) |
96 |
12
|
sseld |
|- ( ph -> ( k e. S -> k e. I ) ) |
97 |
96
|
imdistani |
|- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( ph /\ k e. I ) ) |
98 |
97 58
|
syl |
|- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( Y ` k ) e. NN0 ) |
99 |
56 35
|
eleqtrdi |
|- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( V ` k ) e. ( Base ` G ) ) |
100 |
94 7 95 98 99
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) e. ( Base ` G ) ) |
101 |
100
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) : S --> ( Base ` G ) ) |
102 |
101
|
frnd |
|- ( ph -> ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( Base ` G ) ) |
103 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
104 |
|
eqid |
|- ( Cntz ` G ) = ( Cntz ` G ) |
105 |
94 103 104
|
sscntz |
|- ( ( ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( Base ` G ) /\ ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( ( Cntz ` G ) ` ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) <-> A. x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) A. y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) |
106 |
102 102 105
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( ( Cntz ` G ) ` ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) <-> A. x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) A. y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) |
107 |
93 106
|
mpbird |
|- ( ph -> ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( ( Cntz ` G ) ` ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) ) |