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Theorem mptelixpg

Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015)

Ref Expression
Assertion mptelixpg 
|- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elex 
 |-  ( I e. V -> I e. _V )
2 nfcv 
 |-  F/_ y K
3 nfcsb1v 
 |-  F/_ x [_ y / x ]_ K
4 csbeq1a 
 |-  ( x = y -> K = [_ y / x ]_ K )
5 2 3 4 cbvixp 
 |-  X_ x e. I K = X_ y e. I [_ y / x ]_ K
6 5 eleq2i 
 |-  ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K )
7 elixp2 
 |-  ( ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
8 3anass 
 |-  ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
9 6 7 8 3bitri 
 |-  ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
10 eqid 
 |-  ( x e. I |-> J ) = ( x e. I |-> J )
11 10 fnmpt 
 |-  ( A. x e. I J e. K -> ( x e. I |-> J ) Fn I )
12 10 fvmpt2 
 |-  ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
13 simpr 
 |-  ( ( x e. I /\ J e. K ) -> J e. K )
14 12 13 eqeltrd 
 |-  ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
15 14 ralimiaa 
 |-  ( A. x e. I J e. K -> A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
16 11 15 jca 
 |-  ( A. x e. I J e. K -> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
17 dffn2 
 |-  ( ( x e. I |-> J ) Fn I <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
18 10 fmpt 
 |-  ( A. x e. I J e. _V <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
19 10 fvmpt2 
 |-  ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
20 19 eleq1d 
 |-  ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> J e. K ) )
21 20 biimpd 
 |-  ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
22 21 ralimiaa 
 |-  ( A. x e. I J e. _V -> A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
23 ralim 
 |-  ( A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
24 22 23 syl 
 |-  ( A. x e. I J e. _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
25 18 24 sylbir 
 |-  ( ( x e. I |-> J ) : I --> _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
26 17 25 sylbi 
 |-  ( ( x e. I |-> J ) Fn I -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
27 26 imp 
 |-  ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) -> A. x e. I J e. K )
28 16 27 impbii 
 |-  ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
29 nfv 
 |-  F/ y ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K
30 nffvmpt1 
 |-  F/_ x ( ( x e. I |-> J ) ` y )
31 30 3 nfel 
 |-  F/ x ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K
32 fveq2 
 |-  ( x = y -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = ( ( x e. I |-> J ) ` y ) )
33 32 4 eleq12d 
 |-  ( x = y -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
34 29 31 33 cbvralw 
 |-  ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K )
35 34 anbi2i 
 |-  ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
36 28 35 bitri 
 |-  ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
37 mptexg 
 |-  ( I e. _V -> ( x e. I |-> J ) e. _V )
38 37 biantrurd 
 |-  ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) ) )
39 36 38 bitr2id 
 |-  ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) <-> A. x e. I J e. K ) )
40 9 39 bitrid 
 |-  ( I e. _V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )
41 1 40 syl 
 |-  ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )