Theorem msq11

Description: The square of a nonnegative number is a one-to-one function. (Contributed by NM, 29-Jul-1999) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016)

	Ref	Expression
Assertion	msq11	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) = ( B x. B ) <-> A = B ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2msq	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( A x. A ) <_ ( B x. B ) ) )
2		le2msq	|- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( B <_ A <-> ( B x. B ) <_ ( A x. A ) ) )
3	2	ancoms	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B <_ A <-> ( B x. B ) <_ ( A x. A ) ) )
4	1 3	anbi12d	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ A ) <-> ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) /\ ( B x. B ) <_ ( A x. A ) ) ) )
5		simpll	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
6		simprl	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
7	5 6	letri3d	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
8	5 5	remulcld	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. A ) e. RR )
9	6 6	remulcld	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. B ) e. RR )
10	8 9	letri3d	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) = ( B x. B ) <-> ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) /\ ( B x. B ) <_ ( A x. A ) ) ) )
11	4 7 10	3bitr4rd	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) = ( B x. B ) <-> A = B ) )