Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulgnndir.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
mulgnndir.t |
|- .x. = ( .g ` G ) |
3 |
|
mulgnndir.p |
|- .+ = ( +g ` G ) |
4 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> G e. Grp ) |
5 |
|
grpmnd |
|- ( G e. Grp -> G e. Mnd ) |
6 |
4 5
|
syl |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> G e. Mnd ) |
7 |
|
simprl |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> M e. NN0 ) |
8 |
|
simprr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> N e. NN0 ) |
9 |
|
simpl23 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> X e. B ) |
10 |
1 2 3
|
mulgnn0dir |
|- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
11 |
6 7 8 9 10
|
syl13anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
12 |
11
|
anassrs |
|- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
13 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> G e. Grp ) |
14 |
|
simp22 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. ZZ ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> N e. ZZ ) |
16 |
|
simpl23 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> X e. B ) |
17 |
|
eqid |
|- ( invg ` G ) = ( invg ` G ) |
18 |
1 2 17
|
mulgneg |
|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) ) |
19 |
13 15 16 18
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) ) |
20 |
19
|
oveq1d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
21 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B ) |
22 |
13 15 16 21
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( N .x. X ) e. B ) |
23 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
24 |
1 3 23 17
|
grplinv |
|- ( ( G e. Grp /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( 0g ` G ) ) |
25 |
13 22 24
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( 0g ` G ) ) |
26 |
20 25
|
eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( 0g ` G ) ) |
27 |
26
|
oveq2d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) ) |
28 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. NN0 ) |
29 |
|
nn0z |
|- ( ( M + N ) e. NN0 -> ( M + N ) e. ZZ ) |
30 |
28 29
|
syl |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. ZZ ) |
31 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) |
32 |
13 30 16 31
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) |
33 |
1 3 23
|
grprid |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
34 |
13 32 33
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
35 |
27 34
|
eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
36 |
|
nn0z |
|- ( -u N e. NN0 -> -u N e. ZZ ) |
37 |
36
|
ad2antll |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> -u N e. ZZ ) |
38 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( G e. Grp /\ -u N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) e. B ) |
39 |
13 37 16 38
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( -u N .x. X ) e. B ) |
40 |
1 3
|
grpass |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( M + N ) .x. X ) e. B /\ ( -u N .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) ) -> ( ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) |
41 |
13 32 39 22 40
|
syl13anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) |
42 |
13 5
|
syl |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> G e. Mnd ) |
43 |
|
simprr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> -u N e. NN0 ) |
44 |
1 2 3
|
mulgnn0dir |
|- ( ( G e. Mnd /\ ( ( M + N ) e. NN0 /\ -u N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( ( M + N ) + -u N ) .x. X ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) ) |
45 |
42 28 43 16 44
|
syl13anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) + -u N ) .x. X ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) ) |
46 |
|
simp21 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. ZZ ) |
47 |
46
|
zcnd |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. CC ) |
48 |
14
|
zcnd |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. CC ) |
49 |
47 48
|
addcld |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M + N ) e. CC ) |
50 |
49
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. CC ) |
51 |
48
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> N e. CC ) |
52 |
50 51
|
negsubd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) + -u N ) = ( ( M + N ) - N ) ) |
53 |
47
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> M e. CC ) |
54 |
53 51
|
pncand |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) - N ) = M ) |
55 |
52 54
|
eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) + -u N ) = M ) |
56 |
55
|
oveq1d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) + -u N ) .x. X ) = ( M .x. X ) ) |
57 |
45 56
|
eqtr3d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) = ( M .x. X ) ) |
58 |
57
|
oveq1d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
59 |
41 58
|
eqtr3d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
60 |
35 59
|
eqtr3d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
61 |
60
|
anassrs |
|- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) /\ -u N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
62 |
|
elznn0 |
|- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) ) |
63 |
62
|
simprbi |
|- ( N e. ZZ -> ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) |
64 |
14 63
|
syl |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) |
65 |
64
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) -> ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) |
66 |
12 61 65
|
mpjaodan |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
67 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> G e. Grp ) |
68 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> M e. ZZ ) |
69 |
|
simpl23 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> X e. B ) |
70 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) e. B ) |
71 |
67 68 69 70
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M .x. X ) e. B ) |
72 |
68
|
znegcld |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> -u M e. ZZ ) |
73 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( G e. Grp /\ -u M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u M .x. X ) e. B ) |
74 |
67 72 69 73
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M .x. X ) e. B ) |
75 |
29
|
3ad2ant3 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ ) |
76 |
75
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ ) |
77 |
67 76 69 31
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) |
78 |
1 3
|
grpass |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( M .x. X ) e. B /\ ( -u M .x. X ) e. B /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) ) |
79 |
67 71 74 77 78
|
syl13anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) ) |
80 |
1 2 17
|
mulgneg |
|- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) |
81 |
67 68 69 80
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) |
82 |
81
|
oveq2d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) ) |
83 |
1 3 23 17
|
grprinv |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) |
84 |
67 71 83
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) |
85 |
82 84
|
eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( 0g ` G ) ) |
86 |
85
|
oveq1d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) |
87 |
1 3 23
|
grplid |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
88 |
67 77 87
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
89 |
86 88
|
eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
90 |
67 5
|
syl |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> G e. Mnd ) |
91 |
|
simpr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> -u M e. NN0 ) |
92 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 ) |
93 |
1 2 3
|
mulgnn0dir |
|- ( ( G e. Mnd /\ ( -u M e. NN0 /\ ( M + N ) e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( -u M + ( M + N ) ) .x. X ) = ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) |
94 |
90 91 92 69 93
|
syl13anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( -u M + ( M + N ) ) .x. X ) = ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) |
95 |
47
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> M e. CC ) |
96 |
95
|
negcld |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> -u M e. CC ) |
97 |
49
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. CC ) |
98 |
96 97
|
addcomd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M + ( M + N ) ) = ( ( M + N ) + -u M ) ) |
99 |
97 95
|
negsubd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) + -u M ) = ( ( M + N ) - M ) ) |
100 |
48
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> N e. CC ) |
101 |
95 100
|
pncan2d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) - M ) = N ) |
102 |
98 99 101
|
3eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M + ( M + N ) ) = N ) |
103 |
102
|
oveq1d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( -u M + ( M + N ) ) .x. X ) = ( N .x. X ) ) |
104 |
94 103
|
eqtr3d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( N .x. X ) ) |
105 |
104
|
oveq2d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
106 |
79 89 105
|
3eqtr3d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
107 |
|
elznn0 |
|- ( M e. ZZ <-> ( M e. RR /\ ( M e. NN0 \/ -u M e. NN0 ) ) ) |
108 |
107
|
simprbi |
|- ( M e. ZZ -> ( M e. NN0 \/ -u M e. NN0 ) ) |
109 |
46 108
|
syl |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M e. NN0 \/ -u M e. NN0 ) ) |
110 |
66 106 109
|
mpjaodan |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |