Theorem nalset

Description: No set contains all sets. Theorem 41 of Suppes p. 30. (Contributed by NM, 23-Aug-1993) Remove use of ax-12 and ax-13 . (Revised by BJ, 31-May-2019)

	Ref	Expression
Assertion	nalset	|- -. E. x A. y y e. x

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexn	|- ( A. x E. y -. y e. x <-> -. E. x A. y y e. x )
2		ax-sep	|- E. y A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) )
3		elequ1	|- ( z = y -> ( z e. y <-> y e. y ) )
4		elequ1	|- ( z = y -> ( z e. x <-> y e. x ) )
5		elequ1	|- ( z = y -> ( z e. z <-> y e. z ) )
6		elequ2	|- ( z = y -> ( y e. z <-> y e. y ) )
7	5 6	bitrd	|- ( z = y -> ( z e. z <-> y e. y ) )
8	7	notbid	|- ( z = y -> ( -. z e. z <-> -. y e. y ) )
9	4 8	anbi12d	|- ( z = y -> ( ( z e. x /\ -. z e. z ) <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) )
10	3 9	bibi12d	|- ( z = y -> ( ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) <-> ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) ) )
11	10	spvv	|- ( A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) -> ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) )
12		pclem6	|- ( ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) -> -. y e. x )
13	11 12	syl	|- ( A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) -> -. y e. x )
14	2 13	eximii	|- E. y -. y e. x
15	1 14	mpgbi	|- -. E. x A. y y e. x