Theorem nmfnval

Description: Value of the norm of a Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	nmfnval	|- ( T : ~H --> CC -> ( normfn ` T ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso	|- < Or RR*
2	1	supex	|- sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) e. _V
3		ax-hilex	|- ~H e. _V
4		cnex	|- CC e. _V
5		fveq1	|- ( t = T -> ( t ` y ) = ( T ` y ) )
6	5	fveq2d	|- ( t = T -> ( abs ` ( t ` y ) ) = ( abs ` ( T ` y ) ) )
7	6	eqeq2d	|- ( t = T -> ( x = ( abs ` ( t ` y ) ) <-> x = ( abs ` ( T ` y ) ) ) )
8	7	anbi2d	|- ( t = T -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( t ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( T ` y ) ) ) ) )
9	8	rexbidv	|- ( t = T -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( t ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( T ` y ) ) ) ) )
10	9	abbidv	|- ( t = T -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( t ` y ) ) ) } = { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( T ` y ) ) ) } )
11	10	supeq1d	|- ( t = T -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( t ` y ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
12		df-nmfn	|- normfn = ( t e. ( CC ^m ~H ) |-> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( t ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
13	2 3 4 11 12	fvmptmap	|- ( T : ~H --> CC -> ( normfn ` T ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) )