Theorem nsspssun

Description: Negation of subclass expressed in terms of proper subclass and union. (Contributed by NM, 15-Sep-2004)

	Ref	Expression
Assertion	nsspssun	|- ( -. A C_ B <-> B C. ( A u. B ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2	|- B C_ ( A u. B )
2	1	biantrur	|- ( -. ( A u. B ) C_ B <-> ( B C_ ( A u. B ) /\ -. ( A u. B ) C_ B ) )
3		ssid	|- B C_ B
4	3	biantru	|- ( A C_ B <-> ( A C_ B /\ B C_ B ) )
5		unss	|- ( ( A C_ B /\ B C_ B ) <-> ( A u. B ) C_ B )
6	4 5	bitri	|- ( A C_ B <-> ( A u. B ) C_ B )
7	2 6	xchnxbir	|- ( -. A C_ B <-> ( B C_ ( A u. B ) /\ -. ( A u. B ) C_ B ) )
8		dfpss3	|- ( B C. ( A u. B ) <-> ( B C_ ( A u. B ) /\ -. ( A u. B ) C_ B ) )
9	7 8	bitr4i	|- ( -. A C_ B <-> B C. ( A u. B ) )