Theorem ocvcss

Description: The orthocomplement of any set is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	cssss.v	|- V = ( Base ` W )
	cssss.c	|- C = ( ClSubSp ` W )
	ocvcss.o	|- ._|_ = ( ocv ` W )
Assertion	ocvcss	|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) -> ( ._|_ ` S ) e. C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cssss.v	|- V = ( Base ` W )
2		cssss.c	|- C = ( ClSubSp ` W )
3		ocvcss.o	|- ._|_ = ( ocv ` W )
4	1 3	ocvocv	|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )
5	3	ocv2ss	|- ( S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) ) C_ ( ._|_ ` S ) )
6	4 5	syl	|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) ) C_ ( ._|_ ` S ) )
7	1 3	ocvss	|- ( ._|_ ` S ) C_ V
8	7	a1i	|- ( S C_ V -> ( ._|_ ` S ) C_ V )
9	1 2 3	iscss2	|- ( ( W e. PreHil /\ ( ._|_ ` S ) C_ V ) -> ( ( ._|_ ` S ) e. C <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) ) C_ ( ._|_ ` S ) ) )
10	8 9	sylan2	|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) -> ( ( ._|_ ` S ) e. C <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) ) C_ ( ._|_ ` S ) ) )
11	6 10	mpbird	|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) -> ( ._|_ ` S ) e. C )