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Theorem oelim2

Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of Mendelson p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005)

Ref Expression
Assertion oelim2 
|- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 limelon 
 |-  ( ( B e. C /\ Lim B ) -> B e. On )
2 0ellim 
 |-  ( Lim B -> (/) e. B )
3 2 adantl 
 |-  ( ( B e. C /\ Lim B ) -> (/) e. B )
4 oe0m1 
 |-  ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
5 4 biimpa 
 |-  ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
6 1 3 5 syl2anc 
 |-  ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
7 eldif 
 |-  ( x e. ( B \ 1o ) <-> ( x e. B /\ -. x e. 1o ) )
8 limord 
 |-  ( Lim B -> Ord B )
9 ordelon 
 |-  ( ( Ord B /\ x e. B ) -> x e. On )
10 8 9 sylan 
 |-  ( ( Lim B /\ x e. B ) -> x e. On )
11 on0eln0 
 |-  ( x e. On -> ( (/) e. x <-> x =/= (/) ) )
12 el1o 
 |-  ( x e. 1o <-> x = (/) )
13 12 necon3bbii 
 |-  ( -. x e. 1o <-> x =/= (/) )
14 11 13 bitr4di 
 |-  ( x e. On -> ( (/) e. x <-> -. x e. 1o ) )
15 oe0m1 
 |-  ( x e. On -> ( (/) e. x <-> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
16 15 biimpd 
 |-  ( x e. On -> ( (/) e. x -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
17 14 16 sylbird 
 |-  ( x e. On -> ( -. x e. 1o -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
18 10 17 syl 
 |-  ( ( Lim B /\ x e. B ) -> ( -. x e. 1o -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
19 18 impr 
 |-  ( ( Lim B /\ ( x e. B /\ -. x e. 1o ) ) -> ( (/) ^o x ) = (/) )
20 7 19 sylan2b 
 |-  ( ( Lim B /\ x e. ( B \ 1o ) ) -> ( (/) ^o x ) = (/) )
21 20 iuneq2dv 
 |-  ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = U_ x e. ( B \ 1o ) (/) )
22 df-1o 
 |-  1o = suc (/)
23 limsuc 
 |-  ( Lim B -> ( (/) e. B <-> suc (/) e. B ) )
24 2 23 mpbid 
 |-  ( Lim B -> suc (/) e. B )
25 22 24 eqeltrid 
 |-  ( Lim B -> 1o e. B )
26 1on 
 |-  1o e. On
27 26 onirri 
 |-  -. 1o e. 1o
28 eldif 
 |-  ( 1o e. ( B \ 1o ) <-> ( 1o e. B /\ -. 1o e. 1o ) )
29 25 27 28 sylanblrc 
 |-  ( Lim B -> 1o e. ( B \ 1o ) )
30 ne0i 
 |-  ( 1o e. ( B \ 1o ) -> ( B \ 1o ) =/= (/) )
31 iunconst 
 |-  ( ( B \ 1o ) =/= (/) -> U_ x e. ( B \ 1o ) (/) = (/) )
32 29 30 31 3syl 
 |-  ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) (/) = (/) )
33 21 32 eqtrd 
 |-  ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = (/) )
34 33 adantl 
 |-  ( ( B e. C /\ Lim B ) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = (/) )
35 6 34 eqtr4d 
 |-  ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( (/) ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) )
36 oveq1 
 |-  ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
37 oveq1 
 |-  ( A = (/) -> ( A ^o x ) = ( (/) ^o x ) )
38 37 iuneq2d 
 |-  ( A = (/) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) )
39 36 38 eqeq12d 
 |-  ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) <-> ( (/) ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) ) )
40 35 39 imbitrrid 
 |-  ( A = (/) -> ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) ) )
41 40 impcom 
 |-  ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ A = (/) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
42 oelim 
 |-  ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = U_ y e. B ( A ^o y ) )
43 limsuc 
 |-  ( Lim B -> ( y e. B <-> suc y e. B ) )
44 43 biimpa 
 |-  ( ( Lim B /\ y e. B ) -> suc y e. B )
45 nsuceq0 
 |-  suc y =/= (/)
46 dif1o 
 |-  ( suc y e. ( B \ 1o ) <-> ( suc y e. B /\ suc y =/= (/) ) )
47 44 45 46 sylanblrc 
 |-  ( ( Lim B /\ y e. B ) -> suc y e. ( B \ 1o ) )
48 47 ex 
 |-  ( Lim B -> ( y e. B -> suc y e. ( B \ 1o ) ) )
49 48 ad2antlr 
 |-  ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> suc y e. ( B \ 1o ) ) )
50 sssucid 
 |-  y C_ suc y
51 ordelon 
 |-  ( ( Ord B /\ y e. B ) -> y e. On )
52 8 51 sylan 
 |-  ( ( Lim B /\ y e. B ) -> y e. On )
53 onsuc 
 |-  ( y e. On -> suc y e. On )
54 52 53 jccir 
 |-  ( ( Lim B /\ y e. B ) -> ( y e. On /\ suc y e. On ) )
55 id 
 |-  ( ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
56 55 3expa 
 |-  ( ( ( y e. On /\ suc y e. On ) /\ A e. On ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
57 56 ancoms 
 |-  ( ( A e. On /\ ( y e. On /\ suc y e. On ) ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
58 54 57 sylan2 
 |-  ( ( A e. On /\ ( Lim B /\ y e. B ) ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
59 58 anassrs 
 |-  ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ y e. B ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
60 oewordi 
 |-  ( ( ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
61 59 60 sylan 
 |-  ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ y e. B ) /\ (/) e. A ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
62 61 an32s 
 |-  ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) /\ y e. B ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
63 50 62 mpi 
 |-  ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) /\ y e. B ) -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) )
64 63 ex 
 |-  ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
65 49 64 jcad 
 |-  ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> ( suc y e. ( B \ 1o ) /\ ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) ) )
66 oveq2 
 |-  ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
67 66 sseq2d 
 |-  ( x = suc y -> ( ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) <-> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
68 67 rspcev 
 |-  ( ( suc y e. ( B \ 1o ) /\ ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) -> E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) )
69 65 68 syl6 
 |-  ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) ) )
70 69 ralrimiv 
 |-  ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> A. y e. B E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) )
71 iunss2 
 |-  ( A. y e. B E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) C_ U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
72 70 71 syl 
 |-  ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) C_ U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
73 difss 
 |-  ( B \ 1o ) C_ B
74 iunss1 
 |-  ( ( B \ 1o ) C_ B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ x e. B ( A ^o x ) )
75 73 74 ax-mp 
 |-  U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ x e. B ( A ^o x )
76 oveq2 
 |-  ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
77 76 cbviunv 
 |-  U_ x e. B ( A ^o x ) = U_ y e. B ( A ^o y )
78 75 77 sseqtri 
 |-  U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ y e. B ( A ^o y )
79 78 a1i 
 |-  ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ y e. B ( A ^o y ) )
80 72 79 eqssd 
 |-  ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
81 80 adantlrl 
 |-  ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
82 42 81 eqtrd 
 |-  ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
83 41 82 oe0lem 
 |-  ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )