Theorem oicl

Description: The order type of the well-order R on A is an ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015)

	Ref	Expression
Hypothesis	oicl.1	|- F = OrdIso ( R , A )
Assertion	oicl	|- Ord dom F

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	|- F = OrdIso ( R , A )
2		eqid	|- recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
3		eqid	|- { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
4		eqid	|- ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) )
5	2 3 4	ordtypecbv	|- recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
6		eqid	|- { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) " x ) z R t }
7		simpl	|- ( ( R We A /\ R Se A ) -> R We A )
8		simpr	|- ( ( R We A /\ R Se A ) -> R Se A )
9	5 3 4 6 1 7 8	ordtypelem5	|- ( ( R We A /\ R Se A ) -> ( Ord dom F /\ F : dom F --> A ) )
10	9	simpld	|- ( ( R We A /\ R Se A ) -> Ord dom F )
11		ord0	|- Ord (/)
12	1	oi0	|- ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> F = (/) )
13	12	dmeqd	|- ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> dom F = dom (/) )
14		dm0	|- dom (/) = (/)
15	13 14	eqtrdi	|- ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> dom F = (/) )
16		ordeq	|- ( dom F = (/) -> ( Ord dom F <-> Ord (/) ) )
17	15 16	syl	|- ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> ( Ord dom F <-> Ord (/) ) )
18	11 17	mpbiri	|- ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> Ord dom F )
19	10 18	pm2.61i	|- Ord dom F