Theorem oldmm3N

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. ( chdmm3 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	oldmm1.b	|- B = ( Base ` K )
	oldmm1.j	|- .\/ = ( join ` K )
	oldmm1.m	|- ./\ = ( meet ` K )
	oldmm1.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion	oldmm3N	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( X ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) .\/ Y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	|- B = ( Base ` K )
2		oldmm1.j	|- .\/ = ( join ` K )
3		oldmm1.m	|- ./\ = ( meet ` K )
4		oldmm1.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
5		olop	|- ( K e. OL -> K e. OP )
6	5	3ad2ant1	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP )
7		simp3	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
8	1 4	opoccl	|- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
9	6 7 8	syl2anc	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
10	1 2 3 4	oldmm1	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( ._|_ ` ( X ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
11	9 10	syld3an3	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( X ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
12	1 4	opococ	|- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
13	6 7 12	syl2anc	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
14	13	oveq2d	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) .\/ Y ) )
15	11 14	eqtrd	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( X ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) .\/ Y ) )