Metamath Proof Explorer

Theorem omun

Description: The union of two finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 15-Mar-2025)

Ref Expression
Assertion omun 
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A u. B ) e. _om )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ssequn1 
 |-  ( A C_ B <-> ( A u. B ) = B )
2 eleq1a 
 |-  ( B e. _om -> ( ( A u. B ) = B -> ( A u. B ) e. _om ) )
3 2 adantl 
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( A u. B ) = B -> ( A u. B ) e. _om ) )
4 1 3 biimtrid 
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A u. B ) e. _om ) )
5 ssequn2 
 |-  ( B C_ A <-> ( A u. B ) = A )
6 eleq1a 
 |-  ( A e. _om -> ( ( A u. B ) = A -> ( A u. B ) e. _om ) )
7 6 adantr 
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( A u. B ) = A -> ( A u. B ) e. _om ) )
8 5 7 biimtrid 
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( B C_ A -> ( A u. B ) e. _om ) )
9 nnord 
 |-  ( A e. _om -> Ord A )
10 nnord 
 |-  ( B e. _om -> Ord B )
11 ordtri2or2 
 |-  ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
12 9 10 11 syl2an 
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
13 4 8 12 mpjaod 
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A u. B ) e. _om )