Theorem oplecon1b

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. ( chsscon1 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011)

	Ref	Expression
Hypotheses	opcon3.b	|- B = ( Base ` K )
	opcon3.l	|- .<_ = ( le ` K )
	opcon3.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion	oplecon1b	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ X ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opcon3.b	|- B = ( Base ` K )
2		opcon3.l	|- .<_ = ( le ` K )
3		opcon3.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
4	1 3	opoccl	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
5	4	3adant3	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
6	1 2 3	oplecon3b	|- ( ( K e. OP /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
7	5 6	syld3an2	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
8	1 3	opococ	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
9	8	3adant3	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
10	9	breq2d	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ X ) )
11	7 10	bitrd	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ X ) )