Theorem opltcon2b

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. ( chsscon2 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011)

	Ref	Expression
Hypotheses	opltcon3.b	|- B = ( Base ` K )
	opltcon3.s	|- .< = ( lt ` K )
	opltcon3.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion	opltcon2b	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< ( ._|_ ` Y ) <-> Y .< ( ._|_ ` X ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opltcon3.b	|- B = ( Base ` K )
2		opltcon3.s	|- .< = ( lt ` K )
3		opltcon3.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
4	1 3	opoccl	|- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
5	4	3adant2	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
6	1 2 3	opltcon3b	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( X .< ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) .< ( ._|_ ` X ) ) )
7	5 6	syld3an3	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) .< ( ._|_ ` X ) ) )
8	1 3	opococ	|- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
9	8	3adant2	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
10	9	breq1d	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) .< ( ._|_ ` X ) <-> Y .< ( ._|_ ` X ) ) )
11	7 10	bitrd	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< ( ._|_ ` Y ) <-> Y .< ( ._|_ ` X ) ) )