Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
0cn |
|- 0 e. CC |
2 |
|
snssi |
|- ( 0 e. CC -> { 0 } C_ CC ) |
3 |
1 2
|
ax-mp |
|- { 0 } C_ CC |
4 |
3
|
biantru |
|- ( S C_ CC <-> ( S C_ CC /\ { 0 } C_ CC ) ) |
5 |
|
unss |
|- ( ( S C_ CC /\ { 0 } C_ CC ) <-> ( S u. { 0 } ) C_ CC ) |
6 |
4 5
|
bitr2i |
|- ( ( S u. { 0 } ) C_ CC <-> S C_ CC ) |
7 |
|
unass |
|- ( ( S u. { 0 } ) u. { 0 } ) = ( S u. ( { 0 } u. { 0 } ) ) |
8 |
|
unidm |
|- ( { 0 } u. { 0 } ) = { 0 } |
9 |
8
|
uneq2i |
|- ( S u. ( { 0 } u. { 0 } ) ) = ( S u. { 0 } ) |
10 |
7 9
|
eqtri |
|- ( ( S u. { 0 } ) u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } ) |
11 |
10
|
oveq1i |
|- ( ( ( S u. { 0 } ) u. { 0 } ) ^m NN0 ) = ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) |
12 |
11
|
rexeqi |
|- ( E. a e. ( ( ( S u. { 0 } ) u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) |
13 |
12
|
rexbii |
|- ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( ( S u. { 0 } ) u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) |
14 |
6 13
|
anbi12i |
|- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( ( S u. { 0 } ) u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) |
15 |
|
elply |
|- ( f e. ( Poly ` ( S u. { 0 } ) ) <-> ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( ( S u. { 0 } ) u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) |
16 |
|
elply |
|- ( f e. ( Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) |
17 |
14 15 16
|
3bitr4i |
|- ( f e. ( Poly ` ( S u. { 0 } ) ) <-> f e. ( Poly ` S ) ) |
18 |
17
|
eqriv |
|- ( Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = ( Poly ` S ) |