Theorem poml5N

Description: Orthomodular law for projective lattices. (Contributed by NM, 23-Mar-2012) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	poml4.a	|- A = ( Atoms ` K )
	poml4.p	|- ._|_ = ( _|_P ` K )
Assertion	poml5N	|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poml4.a	|- A = ( Atoms ` K )
2		poml4.p	|- ._|_ = ( _|_P ` K )
3		simp1	|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> K e. HL )
4		simp3	|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> X C_ ( ._|_ ` Y ) )
5	1 2	polssatN	|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ A )
6	5	3adant3	|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ A )
7	4 6	sstrd	|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> X C_ A )
8	3 7 6	3jca	|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( K e. HL /\ X C_ A /\ ( ._|_ ` Y ) C_ A ) )
9	1 2	3polN	|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ._|_ ` Y ) )
10	9	3adant3	|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ._|_ ` Y ) )
11	4 10	jca	|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ._|_ ` Y ) ) )
12	1 2	poml4N	|- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ ( ._|_ ` Y ) C_ A ) -> ( ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
13	8 11 12	sylc	|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )