Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
prprc1 |
|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } ) |
2 |
|
snfi |
|- { B } e. Fin |
3 |
1 2
|
eqeltrdi |
|- ( -. A e. _V -> { A , B } e. Fin ) |
4 |
|
prprc2 |
|- ( -. B e. _V -> { A , B } = { A } ) |
5 |
|
snfi |
|- { A } e. Fin |
6 |
4 5
|
eqeltrdi |
|- ( -. B e. _V -> { A , B } e. Fin ) |
7 |
|
2onn |
|- 2o e. _om |
8 |
|
simp1 |
|- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ -. A = B ) -> A e. _V ) |
9 |
|
simp2 |
|- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ -. A = B ) -> B e. _V ) |
10 |
|
simp3 |
|- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ -. A = B ) -> -. A = B ) |
11 |
8 9 10
|
enpr2d |
|- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ -. A = B ) -> { A , B } ~~ 2o ) |
12 |
|
breq2 |
|- ( x = 2o -> ( { A , B } ~~ x <-> { A , B } ~~ 2o ) ) |
13 |
12
|
rspcev |
|- ( ( 2o e. _om /\ { A , B } ~~ 2o ) -> E. x e. _om { A , B } ~~ x ) |
14 |
7 11 13
|
sylancr |
|- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ -. A = B ) -> E. x e. _om { A , B } ~~ x ) |
15 |
|
isfi |
|- ( { A , B } e. Fin <-> E. x e. _om { A , B } ~~ x ) |
16 |
14 15
|
sylibr |
|- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ -. A = B ) -> { A , B } e. Fin ) |
17 |
16
|
3expia |
|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( -. A = B -> { A , B } e. Fin ) ) |
18 |
|
dfsn2 |
|- { A } = { A , A } |
19 |
|
preq2 |
|- ( A = B -> { A , A } = { A , B } ) |
20 |
18 19
|
eqtr2id |
|- ( A = B -> { A , B } = { A } ) |
21 |
20 5
|
eqeltrdi |
|- ( A = B -> { A , B } e. Fin ) |
22 |
17 21
|
pm2.61d2 |
|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. Fin ) |
23 |
3 6 22
|
ecase |
|- { A , B } e. Fin |